Un jeu.

Question

Salut tout le monde,




En cette période de vacances je propose aux courageux delphinautes présents au poste un petit jeu qui pourrait avoir des conséquences sur certains algorithmes informatiques.



Voici la règle du jeu, très simple:

Un joueur écrit à mon insu deux nombres différents sur deux cartes qu'il pose, faces cachées, sur la table. Je retourne l'une des deux cartes et je découvre le nombre qui y est inscrit. 

-Je peux soit conserver cette carte, soit choisir l'autre. 

-Je gagne si je prends la carte qui a le plus grand des deux nombres; sinon, je perds.

Plus simple, tu meurs, non?



Question:


Quelles sont mes chances de gagner à ce jeu?


Il semble évident que j'ai une chance sur deux de gagner, comme dans le jeu de pile ou face, n'est-ce-pas?

Eh bien non!

Il existe une stratégie qui conduit à une probabilité de gain supérieur à 0.5 !


Si vous avez des idées et si vous n'avez pas lu le "POUR LA SCIENCE" du mois d'août, proposez... :)))


Je donnerai la réponse demain. Et je pense qu'elle en étonnera plus d'un.

(Je précise qu'il n'y a aucun truc. C'est que des maths!)

Francky23012301 · Answer

Salut Cari,

Hé hé on veut faire le malin . Mais par définition même de la problématique que tu poses, la probabilité est obligatoirement supérieure à 50%.

Pourquoi ? il suffit juste de considérer le cas ou la première carte tirée est égale à un. Dans ce cas précis on gagne à tout les coups.

De ce fait la probabilité ne peut pas être de 50%.

Ps : Et j'ai pas lu le " pour la science " .

Francky23012301 · Answer

Allez soyons fous .

Tu parles de chiffres : soit 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .

Par rapport à la première carte, on a 10 cas possibles correspondants aux chiffres.
Parmis ces 10 cas, les 9 derniers induisent une probabilité relative de 1/2 : en effet soit le second chiffre est supérieur au premier soit il est inférieur. Donc on a une chance de 1/2 de gagner.

Le premier cas induit une probabilité de 1. En effet si on tire le chiffre zéro (et non le un : j'avais zappé le zéro (Ouhhhhh Francky il ne sait pas compter )), on est sur que le second chiffre est supérieur à zéro. Donc la probabilité d'etre le winner est de 1.

Alors la probabilité totale est : [0,5*9+1]/10 soit 55% .

Dis moi j'espère que le cadeau c'est une photo de Cari avec des plumes . Ca serait sympas que je t'incorpore dans mon abulm photo : j'ai déja Japee mdrrrrr .

Caribensila · Answer

@ Frankenstein
héhéhé
Bein non!   :p
Si tu joues bourrin, t'as qu'une chance sur deux de gagner.

"Un cas précis" n'est pas très mathématique, par ailleurs...

Mais il est vrai qu'on peut provoquer un cas qui gagne à tous les coups, sans pour autant être sûr qu'il advienne. C'est ce qui ajoute quelques % aux 50%...

Caribensila · Answer

Comme t'es parti, je te promets une photo à plumes si tu trouves.
Et même avec des bananes, si tu veux!   
Wouarf!!!

Caribensila · Answer

Relis bien la règle du jeu!

-L'adversaire écrit des chiffres qu'il choisit. 
(Il ne choisit pas dans un jeu de carte.) 
Il est entièrement libre.
De plus, il n'a aucun intérêt à écrire un "zéro".

Francky23012301 · Answer

@Cari : alors là on va se lancer dans un débat probabiliste .

-"Un cas précis n'est pas très mathématique, par ailleurs" : si justement et c'est tout l'art des probabilités.

Par exemple si je te demande la probabilité de tirer une carte autre que l'as de treflle et bien tu as deux manières de traiter le sujet :

°Soit tu étudies tout les cas de figures .
°Soit tu fais justes 1 - la probabilité de tirer justement cette carte.

Et là tu es ramené à l'étude d'un cas de figure précis.

-"Si tu joues bourrin, t'as qu'une chance sur deux de gagner." : n'oublions pas, un joueur qui joue comme un bourrin n'est pas compatible avec un mec qui va se la jouer stratégie. Attention à l'acrobatie que tu vas faire pour essayer de m'embrouiller, je t'ai à l'oeil mon grand 

Ps : la seule chose que je voulais dire c'est que si on ne considère que le hasard, on a plus que 50% de chance de gagner.

Francky23012301 · Answer

C'est que tu as raison en plus : j'ai mal lu la question.

 Et moi qui voulait faire le malin : ca m'énerve tiens

Caribensila · Answer

:)))

C'est  chiant, hein?
Et quand tu verras la soluce, tu trouveras ça beau.

Et je veux dire vraiment 'BEAU'.

f0xi · Answer

en fait, on a jamais 1 chance sur 10000 ou 0.5 chance sur 10 ou 50 chances sur 100 etc...

tout se resume a 1 chance sur 2 puisque :

soit on perd, soit on gagne ... 
soit on a un accident soit on en a pas ... 
soit on trouve une solution soit on en trouve pas ...

Caribensila · Answer

@ f0xi
Les probabilités, comme les jeunes mariées, ne peuvent donner que ce qu'elles ont.
Sur un coup, on peut les juger non fiables. Mais sur le long terme on peut y trouver une certaine satisfaction.
Comme je ne suis pas matheux, j'arrête là.  ;)

@Francky
Bonnes vacances!
J'attends que tu sois parti pour donner la soluce?  
Hahahaha!

florenth · Answer

Hello !

Et si pour changer, c'est moi qui écrit les nombres sur les cartes, au lieu de les tirer. J'écris deux fois le même nombre comme ça je suis sûr que l'autre va perdre car il n'y aura aucune des deux cartes qui sera supérieure à l'autre ! 

Bon, je vais réfléchir à cette question... je précise que je n'ai pas lu non plus le "pour la science".

A+

florenth · Answer

Ahh zut, dans la règle, c'est écrit "nombres différents"....
Pfff, vais pas pouvoir gagner beaucoup alors

cs_rt15 · Answer

Salut,

* trouve pas *

Heu... tu es sûr que c'est pas dans le "pour la science" du mois d'avril ?

florenth · Answer

Bon alors... vraie tentative cette fois.

On choisit une des deux cartes.
Si le nombre inscrit dessus est négatif, alors on prend l'autre, sinon on la garde.

Expérimentalement, on a une probabilité de gain de 0.75
Mais mathématiquement, je n'ai pas réussi à le démontrer.

florenth · Answer

Voila le code d'un petit programme console expérimental.

program CariGame; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils, Math; { ************************** Moteur du jeu ***************************** } var N1, N2: Integer; ChosenFirstCard: Boolean; procedure ChooseNumbers; begin { Choisit deux nombres (entiers) au hazard } N1 := RandomRange(Low(Integer), High(Integer)); repeat N2 := RandomRange(Low(Integer), High(Integer)); until N1 <> N2; end; function ChooseCard(FirstCard: Boolean): Integer; begin { Donne le nombre écrit sur la carte voulue (et mémorise la carte) } ChosenFirstCard := FirstCard; if FirstCard then Result := N1 else Result := N2; end; procedure ChangeCard; begin { Change de carte } ChosenFirstCard := not ChosenFirstCard; end; function HasWon: Boolean; begin Result := ((N1 > N2) and ChosenFirstCard) or ((N1 < N2) and not ChosenFirstCard); end; { ************************** Statégies ***************************** } procedure PlayStategy1; begin // On prend toujours la première carte et on change jamais ChooseCard(True); end; procedure PlayStategy2; begin // On prend toujours la deuxième carte et on change jamais ChooseCard(False); end; procedure PlayStategy3; begin // On prend toujours la première carte et on change toujours ChooseCard(True); ChangeCard; end; procedure PlayStategy4; begin // On prend toujours la deuxième carte et on change toujours ChooseCard(False); ChangeCard; end; procedure PlayStategy5; begin // On prend la première carte et on change si c'est inférieur à zéro if ChooseCard(True) < 0 then ChangeCard; end; procedure PlayStategy6; begin // On prend uen carte au hazard et on change si c'est inférieur à zéro if ChooseCard(Random < 0.5) < 0 then ChangeCard; end; { ********************* Testeur de statégies ************************ } const NbreStrat = 6; Strategies: array[1..NbreStrat] of TProcedure = (PlayStategy1, PlayStategy2, PlayStategy3, PlayStategy4, PlayStategy5, PlayStategy6); var I, J, NbreWin: Integer; begin Randomize; for I := 1 to NbreStrat do begin NbreWin := 0; for J := 1 to 1000000 do begin ChooseNumbers; Strategies[I]; if HasWon then Inc(NbreWin); end; Writeln(Format('Strategy #%d: %.2f', [I, NbreWin / 1000000])); end; Writeln(''); Writeln('Who''s the best ? ^^'); Readln; end.

Amusez vous bien A+ Flo

florenth · Answer

Aprèas réflexion, cette solution n'est bonne que sur le papier.
Car si l'adversaire connait le truc, il écrit toujours des nombres du même signe et la probabilité retombe à 0.5

Bref, ça m'aura bien retourné l'esprit.
Merci Cari pour ce jeu !

A+
Flo

cincap · Answer

Bonjour à toutes et à tous,

2 nombres différents sur 2 cartes donc chaque carte a au moins 2 nombres différents et dans ce cas on gagne à chaque coup si on choisis le plus élevé.

@+,

Cincap

[url]mailto:/url

florenth · Answer

"2 nombres différents sur 2 cartes": ça veut dire que chaque carte a deux nombres ou bien que l'on choisit deux nombres et qu'on en écrit un par carte ?
A mon avis, c'est la deuxième proposition qui est juste.

cs_rt15 · Answer

Arf j'ai trouvé la solution sur le net.

Super, sur ce PC, j'ai le choix entre PHP, vbs et MASM32 sur ce PC pour faire des éssais....

Petit indice : on utilise effectivement le nombre inscrit sur la première carte, et on lui applique un traitement simple qui détermine le choix qu'on fait vi à vis de la deuxième carte sur la table.

PS : Vous attendez pas à du 99.99% de chances de gagner...

Caribensila · Answer

Bon. Je ne vous laisse pas mariner plus longtemps et j'espère que Francky est encore là pour apprécier... Effectivement, c'est pas du 99.99% :) La stratégie: (On la doit à Thomas Cover, de l'Université de Stanford.) Pour avoir plus d'une chance sur deux de gagner, il suffit de choisir mentalement, au préalable, un nombre N quelconque et d'accepter le premier nombre s'il est strictement supérieur à N et, sinon, de choisir l'autre carte. (Perso, je trouve ça beau car ce choix d'un nombre au hasard n'est pas dans l'hypothése...) Pourquoi une probabilité supérieure à 0.5? Pour simplifier les explications, désignons par P le plus petit des deux nombres inscrits sur les cartes, et par G le plus grand. On se retrouve forcément dans l'une des 3 situations suivantes: a) P >= N. Ce qui implique G > N. Selon la stratégie adoptée, on garde le premier nombre retourné et on a alors une chance sur deux pour qu'il soit G. b) G <= N. Ce qui implique P < N. Dans ce cas, on refuse le premier nombre pour prendre le second et, de nouveau, on a une chance sur deux que ce nombre soit G. c) P < N < G. N est compris entre P et G. C'est ici que se trouve le gain! Dans ce cas, on refuse le premier nombre si c'est P et on le garde si c'est G. Donc, dans ce cas, ON GAGNE TOUJOURS! Explications: Si les trois situations se produisent avec des probabilités respectives a, b et c (des valeurs inconnus mais dont la somme est égale à 1), la probabilité totale p de gagner avec cette stratégie est p a/2 + b/2 +c. Or si N est choisi au hasard, la probabilité c est strictement positive. Et puisque a+b+c 1, on en déduit que la probabilité p est strictement supérieur à 1/2. En fait, p = 0.5 + c/2. Etonnant, non? Désolé de vous avoir fait chauffer les neurones, mais ça valait le coup, je pense... :)))

cs_rt15 · Answer

Une petite compile des résultats à la c** de la proba.



Par contre, pour faire un code qui perçoit le c/2 faut se lever de bonne heure ou alors j'ai foiré mon code...

<?php
    for ($i = 0 ; $i < 400000 ; $i++)
    {
        // Rand renvoie un entier dans [-100000, 100000]
        $vals = array(rand(-100000, 100000), rand(-100000, 100000));
        $prem = rand(0, 1);
        $comp = rand(-100000, 100000);
        ($comp < $vals[$prem]) ? $select = $vals[$prem] : $select = $vals[$prem];
        if ($select == Max($vals[0], $vals[1])) $nbGagne++;
    }
    echo $nbGagne;
?>

florenth · Answer

Et ma technique, elle va pas alors ? 

N'empêche, c'est fou ce que les maths peuvent permettre. Il ne faut pas cependant oublier que les probabilités ne sont que des ... probabilités. Je n'ai pas testé mais faut voir si en vrai ça fonctionne vraiment.

Merci pour nous avoir diverti l'esprit !!!

A+
Flo

florenth · Answer

@ rt15: chez moi, en pmplémentant la méthode de Crai, j'ai une proba de p = 0.67 donc c = 8.5. Tu peux le vérifier en ajoutant ceci à mon code :

procedure PlayStategy7; var N: Integer; begin // On choisit un nombre au hazard. // On tire la première carte. Si la valeur de la carte est supérieur au // nombre choisi, on accepte, sinon on change. N := RandomRange(Low(Integer), High(Integer)); if ChooseCard(True) < N then ChangeCard; end; [...] const NbreStrat = 7; Strategies: array[1..NbreStrat] of TProcedure = (PlayStategy1, PlayStategy2, PlayStategy3, PlayStategy4, PlayStategy5, PlayStategy6, PlayStategy7);

Et voila ! A+ Flo

cs_rt15 · Answer

Nan, je pense que ton code à un problème...

0.67 -> 0.666666 -> 2/3
C'est pas une coincidence.

Je me suis retrouvé avec le même problème à un moment...

cs_rt15 · Answer

Non c'est le mien qui à un problème.

Je sors !

Un jeu.

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