précisions sur les transformations dans l'espaceRésolu

Question

Bonjour,
Dans le plan, une homothetie de rapport -1 et de centre l'origine peut se rapporter à une rotation de meme centre et d'angle pi. Il semble que ce soit vrai aussi dans un espace 3D, mais alors quel est l'axe directeur de cette rotation d'angle pi en 3D ?
Comment le calcule-t-on ??? Merci pour vos reponses si vous avez une pette idée.
Bon aprem, jc.

luhtor · Accepted Answer

"on serait tenté" <= MAIS C'EST PAS DEMONTRE CA. Moi je te démontre que c'est faux:

"la rotation à une droite comme espace invariant, l'homothétie n'a pas
de vecteur invariant autre que le 0". Donc tu peux toujours chercher a
calculer un vecteur qui n'existe pas.

ricky78 · Answer

Bonjour

Si je me trompe pas c'est la meme chose avec 2 angles, un site et un azimut.
Si tes coordonnée de depart sont cartesienne X,Y,Z tu doit touver une conversion en coodonnées spherique qui te donne R, theta, phi et ton homothetie revient à la rotation de pi+ theta et de pi+phi

Cordialement

TOCHE

luhtor · Answer

Attention jcloupgarou, tu veux dire qu'il existe une rotation tel que
pour tout point, l'homothétie et la rotation d'angle Pi soient égales ?
Ca c'est faux, et facilement visible: la rotation à une droite comme
espace invariant, l'homothétie n'a pas de vecteur invariant autre que
le 0.

jcloupgarou · Answer

Je dis que, dans le plan, une homothétie de rapport -1 est équivalente à une rotation d'angle pi (et seulement le cas de rapport -1 !). Apres qu'en est-il en 3D pour une telle homothetie (toujours de rapport -1) ? Quand on voit en 3D les effets de cette homothetie de rapport -1, on serait tenté de dire qu'elle correspond egalement à une rotation d'angle pi, mais quel est alors la facon de déterminer l'axe de cette rotation.

jcloupgarou · Answer

Ok, merci j'ai trouvé ca aussi !
"Une homothétie de centre O et de rapport -1 est une symétrie centrale
de centre O. Si on la considère en tant qu'application linéaire dans
Rn, sa matrice est -In. Son déterminant vaut donc (-1)n. Ce ne peut
être une rotation qu'en dimension paire, car la matrice de rotation a
un déterminant valant 1 quel que soit n."

Donc en 2D l'homothetie -1 est bien une rotation, mais pas du tout en 3D ! 

Je
suis dans la merde, je fait un visionneur/convertisseur de plusieurs
formats 3D liés à la mécanique (step, sysbas,...). Dans mon logiciel,
tu peux faire des reflexions et des symétries centrales, or dans un
format de sortie, le GDML (geant4), il n'y a comme transformation que
la rotation et la translation... :o( ! La conversion va etre difficile
!!!

Si vous avez une idée pour me dépatouiller ?

Bonne journée à vous, et encore merci.

luhtor · Answer

Mais ce qui est vrai, c'est que pour tout point P, il existe une
rotation qui donne le meme résultat que ton homothétie de rapport -1.
Seulement, le vecteur rotation dépend du point considéré. Mais
évidemment, trouvé un meme vecteur qui marche pour tout les points,
c'est impossible :)

luhtor · Answer

Et d'ailleurs, en fait on a plus que ca. Pour tout point P, il existe
une infinité de vecteur normé de rotation qui donne le meme résultat
que l'homothétie -1. Donc ya plus qu'a choisir celui que tu veux :) Un
ptit produit vectoriel et une renormalisation.

Précisions sur les transformations dans l'espace

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