CONJECTURE DU CARRÉ DES FACTEURS
Bacterius
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cs_Forman Messages postés 600 Date d'inscription samedi 8 juin 2002 Statut Membre Dernière intervention 6 avril 2010 - 22 nov. 2009 à 20:17
cs_Forman Messages postés 600 Date d'inscription samedi 8 juin 2002 Statut Membre Dernière intervention 6 avril 2010 - 22 nov. 2009 à 20:17
Cette discussion concerne un article du site. Pour la consulter dans son contexte d'origine, cliquez sur le lien ci-dessous.
https://codes-sources.commentcamarche.net/source/50825-conjecture-du-carre-des-facteurs
https://codes-sources.commentcamarche.net/source/50825-conjecture-du-carre-des-facteurs
22 nov. 2009 à 20:17
22 nov. 2009 à 20:09
4 = 2 + 2
5 = 2 + 3
6 = 3 + 3
7 = 2 + 5
8 = 3 + 5
9 = 2 + 7
etc ... peux-tu développer pourquoi tu dis qu'il faut inclure 1 sinon il faut exclure 2 des pairs ?
Cordialement, Bacterius !
22 nov. 2009 à 19:59
Pour Lombric je n'y ai pas touché depuis longtemps. Il me semblait que j'avais plus ou moins fait le tour de la question... après tout ça reste du cryptage symétrique.
22 nov. 2009 à 19:48
Et au fait Forman, ton algo de chiffrement Lombric, tu y travailles encore ?
Cordialement, Bacterius !
22 nov. 2009 à 19:47
22 nov. 2009 à 17:42
const
N=10000000;
var
T:array[1..N] of Boolean;
U:array[1..N] of Integer;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
a,b,c,d:Integer;
begin
for a:=1 to N do
T[a]:=a and 1<>0;
T[2]:=True;
U[1]:=1;
U[2]:=2;
a:=2;
c:=2;
d:=0;
Memo1.Clear;
while a<=N do begin
b:=1;
while (2*U[b]<=a) and (b<c) and not T[a-U[b]] do
Inc(b);
if U[b]>d then begin
Memo1.Lines.Add(IntToStr(a)+' = '+IntToStr(U[b])+'+'+IntToStr(a-U[b]));
d:=U[b];
end;
Inc(a);
if T[a] then begin
b:=2*a;
while b<=N do begin
T[b]:=False;
Inc(b,a);
end;
U[c]:=a;
Inc(c);
end;
Inc(a);
end;
end;
Ça affiche ça:
2 = 1+1
10 = 3+7
28 = 5+23
96 = 7+89
122 = 13+109
220 = 23+197
346 = 29+317
556 = 47+509
1856 = 67+1789
2642 = 103+2539
5372 = 139+5233
7426 = 173+7253
43532 = 211+43321
54244 = 233+54011
63274 = 293+62981
113672 = 313+113359
128168 = 331+127837
194428 = 359+194069
194470 = 383+194087
413572 = 389+413183
503222 = 523+502699
2209532 = 541+2208991
3506954 = 547+3506407
3526958 = 727+3526231
3807404 = 751+3806653
22 nov. 2009 à 17:09
En ce qui concerne l'utilité d'une découverte, je pense toujours à cette phrase d'un savant à qui l'on demandait ce qu'il espérait tirer de sa dernière découverte: "Lorsqu'on met au monde un enfant, on ne se demande pas ce qu'il va changer à l'évolution du monde". Souhaitons que l'on réussisse à démontrer la validité ou la non-validité de la conjecture de Goldnbach et que ça permette d'écrire des compilateurs encore plus performants.
PS: où as-tu trouvé ces nombres pairs qui n'admettent pas beaucoup de décompositions ? Pas dans le "Que sais-je?" sur les nombres premiers. Peut-être as-tu écrit un programme. Moi, j'avoue ne pas avoir eu le coeur de m0y mettre.
22 nov. 2009 à 16:31
2, 10, 28, 96, 122, 220, 346, 556, 1856, 2642, 5372, 7426, 43532, 54244, 63274, 113672, 128168, 194428, 194470, 413572, 503222, 2209532, 3506954, 3526958, 3807404
Tu verras que tu n'as pas tant de choix que ça... Mais c'est vrai que l'un des arguments "traditionnels" en faveur de Goldbach est basé sur une analyse statistique et heuristique de la répartition des nombres premiers: le nombre de décompositions possibles d'un entier pair n en sommes de deux nombres premiers devrait augmenter lorsque n augmente (et c'est d'ailleurs ce qu'on observe expérimentalement).
Je t'accorde aussi qu'en tant que telle, la conjecture (si elle s'avérait démontrable) n'aurait pas forcément un grand intérêt dans la pratique. Mais on pourrait en dire autant du dernier théorème de Fermat (celui qui a été prouvé assez récemment) dont la preuve a pourtant été à l'origine de développements en algèbre qui sont utilisés dans les tous derniers algorithmes de cryptographie asymétrique (cf. les courbes algébriques elliptiques).
22 nov. 2009 à 13:02
Le seul problème, on est bien d'accord, ce sont les trous qui, effectivement sont de plus en plus larges. Mais en même temps, le stock de munitions amassé est de plus en plus gros. Je pense que l'un compense l'autre. C'est une phrase bien vague, d'accord, elle ne prouve rien. Mais prenons un exemple:
Jw fais le produit des 4 premiers nombres premiers: 2*3*5*7=210. Je sais qu'après 210, je vais avoir une zone peu dense en nombres premiers:
213 (210+3) ne sera pas premier car divisible par 3
215 (210+5) ne sera pas premier car divisible par 5
217 (210+7) ne sera pas premier car divisible par 7
219 (210+9) ne sera pas premier car divisible par 3
et 221 n'est pas premier non plus, c'est 13*17.
Est-ce que pour autant, je vais avoir du mal à fabriquer 222?
Ce n'est pas le cas, je peux faire 211+11, 203+19, 199+23, 181+41,179+43, etc... Je dispose d'un tel stock que je peux faire ce que je veux.
D'accord, ce n'est qu'un exemple, ce n'est pas une démonstration. Mais pour l'instant, on est bien obligé de se contenter de chercher à se faire une idée, rien de plus. Je persiste à penser que la remarque de Goldbach est juste mais qu'elle n'apporte pas grand-chose. Un peu comme la remarque: On peut écrire tous les nombres premiers compris entre 1 et 100 sans utiliser une seule fois le chiffre 0 !
21 nov. 2009 à 20:08
En ce qui concerne les "trous" que tu évoques, ils sont de plus en plus "larges". En fait, entre 0 et n, il y a asymptotiquement n/Ln(n) nombres premiers. Ce qui signifie que, grosso modo, l'intervalle moyen entre deux nombres premiers consécutifs augmente: entre [0,n] et [0,2n] cet intervalle moyen aura augmenté de ln(2)=0.69. Donc, si tu prends un très grand nombre pair, il se peut que le nombre premier le plus proche soit très éloigné, ce qui t'oblige à prendre un second terme assez grand pour constituer une somme qui lui soit égale. Et donc, les méthodes semblables à ce que tu décris (en utilisant une liste finie de petits nombres premiers pour recomposer la somme en utilisant des propriétés de congruence) ne s'appliquent pas pour les grands nombres...
21 nov. 2009 à 19:30
Or l'ensemble
{2,3,5) + tous les nombres de la forme 6k+1
a tout ce qu'il faut pour fabriquer tous les nombres pairs par addition de 2 de ses éléments.
et l'ensemble
{2,3,7} + tous les nombres de la forme 6k-1
a également tout ce qu'il faut pour obtenit ?e résultat.
L'ensemble des nombres premiers, qui est la réunion de ces deux ensembles (avec quelques trous il est vrai) a donc lui aussi de grandes facilités pour générer les nombres pairs.
La remarque de Goldbach est donc très pertinente mais elle n'apporte pas grand chose car cette propriété de l'ensemble des nombres premiers n'a sans dout qu'un lointain rapport avec la définition des nombres premiers.
13 nov. 2009 à 15:04
Soient x et y deux réels positifs. Tu choisis une droite D et un point M sur D. Tu places un point A à distance x de M sur D (avec un compas par exemple). Tu places un point B à distance y de M sur D. Notons D' la droite perpendiculaire à D passant par A et D'' celle passant par B. Tu places sur D' un point A' situé à distance 1 de A et on appelle B' le point d'intersection entre les droites D'' et (MA'). Dans ces conditions, on vérifie aisément avec Thalès que la distance MB' vaut y/x. Cette construction permet donc de construire géométriquement le nombre y/x.
Supposons maintenant qu'on dispose "géométriquement" de racine_de_2 et de pi. En prenant y=1 et x=racine_de_2 on peut déjà construire 1/racine_de_2 avec la méthode plus haut. Ensuite, en prenant y=pi et x=1/racine_de_2 on construit pi*racine_de_2. Et tu peux vérifier en faisant le dessin qu'on obtient encore la même chose lorsqu'on intervertit les deux nombres :-)
13 nov. 2009 à 13:50
et je concois très bien racine de 2 comme la longueur de la diagonale d'un carré de coté unitaire.
ils sont très concrets. Leur multiplication, si la diagonale de mon carré est le diamètre de mon cercle, me donne la circonférence de mon cercle.
Mais pourquoi diantre estce que je peux faire cette multiplication dans les 2 *sens* et pourquoi ça donne le même résultat ? Mystère.
13 nov. 2009 à 12:20
La réponse est dans la question: qu'est-ce qu'un nombre irrationnel?
13 nov. 2009 à 12:04
13 nov. 2009 à 11:57
13 nov. 2009 à 11:49
13 nov. 2009 à 11:45
De la même manière qu'en démontrant que le théorème de fermat était vrai car il est une conséquence d'un autre théorème qu'il a réussit à démontrer, andrew wiles n'a pas permis de comprendre le sens profond de ce qui fait que le théorème de fermat est vrai....................
13 nov. 2009 à 11:43
Bon de toutes manieres personne te dira de te poser la question à chaque fois que tu fais une multiplication. Tu crois que je fais quoi de mes journées? Simplement ne rien tenir pour acquis est une règle essentielle de la rigueur, qualité nécessaire à la réussite en mathématique.
Je vois que t'es prêt à accepter la conjecture de goldbach, en gros parce qu'elle te parait crédible et qu'elle te plait, alors que cette histoire de commutativité t'indiffère donc tu préfères ne pas te poser de question... les questions de gout ne se discutent pas, mais dans le contexte des maths et de la science en générale, les opinions ont une importance négligeable en comparaison des arguments. Nos gouts ne déterminent rien........
13 nov. 2009 à 11:37
13 nov. 2009 à 11:28
Je réfléchirai plus tard, quand j'aurai le temps de le faire. Pour l'instant, on me demande d'apprendre et je pense effectivement que c'est la meilleure chose à faire (si l'école existe depuis si longtemps c'est que nécessairement c'est utile).
Cordialement, Bacterius !
13 nov. 2009 à 11:18
@forman, "faux" avec des guillemets ;) Et puis... tu as raison sur un point la géométrie euclidienne est douteuse, puisqu'elle est fausse à l'échelle de l'univers (le chemin le plus court entre deux points n'est pas la ligne droite, merci einstein)
13 nov. 2009 à 11:12
Si je commence à me poser des questions existentielles comme celles-ci, je ne progresse plus (en tout cas, c'est l'impression que j'en ai, pour moi).
Cordialement, Bacterius !
13 nov. 2009 à 11:06
En effet, en tant qu'être doué de vision binoculaire, j'envisage le monde à travers sa projection sur un plan projectif. Dans ce plan, les parallèles se coupent à l'infini, sur leur point de fuite... Donc en ce qui me concerne, la géométrie euclidienne est contre-intuitive. Je n'ai jamais vu de mes yeux deux droites coplanaires qui ne se coupent pas, et je me souviens avoir trouvé cela "dur à avaler" en cours de géométrie élémentaire!
Donc il me semble exagéré de parler de système axiomatique "faux" pour la géométrie non euclidienne (il faudrait d'ailleurs demander à la physique ce qu'elle en pense dans ce cas, il me semble que depuis Einstein, justement, ça a changé). Si l'on se fie uniquement à l'intuition "visuelle", je trouve au contraire la version euclidienne beaucoup plus suspecte!
13 nov. 2009 à 10:31
13 nov. 2009 à 10:30
Maintenant tu prends 2,1 x 3,5 et t'essaies de faire des dessins, pour encore une fois te rendre compte que ça marche, c'est déjà pas gagné de faire des dessins pertinents qui s'éloignent pas "du sens" de ce que tu veux comprendre. (genre en faisant 21 dixieme fois 35 dixieme, tu retombes sur les entiers mais tu t'éloignes du sens de ce que tu voulais comprendre : tu vois que ça marche encore mais tu ne comprends pas pourquoi)
pire encore pour *démontrer* ou même tout simplement réussir à donner du sens à la commutativité de la multiplication de deux irrationnels (donc pi et racine de 2 par exemple), non seulement personne ne se risque à le faire (à ma connaissance), on l'accepte par convention, d'ailleurs c'est par définition de l'ensemble des réels (définition de R selon Hilbert : "R est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet.")
La manière dont ça se passe, on ne montre pas du tout que la multiplication des irrationnels est commutative, on montre que si on prend un ensemble complet et archimédien où la multiplication est commutative, les irrationnels sont dans cet ensemble. En terme de sens, on explique pas vraiment POURQUOI estce qu'on peut dire pourquoi x * y = y * x , même si c'est vrai et démontré.
13 nov. 2009 à 10:02
Pourquoi ? Je trouve ça très logique au contraire ?
Cordialement, Bacterius !
13 nov. 2009 à 09:51
Kurt Godel a démontré que quelque soit le système d'axiomes initial, il y aura toujours des propositions dont la vérité sera non vérifiables. Si tu admets une de ces vérités non vérifiables comme axiome et que cet axiome ne nuit pas à la consistance de ton système d'axiome, tu te heurteras encore (et toujours) à des propriétés non vérifiables. Ceci ce n'est pas une raison pour admettre que qqch est vrai parce que ça t'arrange, comme l'exemple de fredelem l'illustre. Car si la vérité de l'hypothèse de goldbach n'est pas démontrable, peut être que la vérité de son contraire n'est démontrable qu'avec un contre exemple, peut être situé trop "loin" dans l'échelle des nombres pour qu'on l'atteigne un jour.
Il y a beaucoup de choses évidentes qui ne sont pas tant évidentes que ça et pourtant les mathématiques sont un édifice solide.On peut encore comprendre en réflechissant un peu comment on peut avoir 3x5 5x3 (pourquoi est-ce que 3 fois 5 moutons 15 moutons = 5 fois 3 moutons... c'est pas évident...)
Par contre accepter que (racine de 2) x Pi = Pi x Racine de 2 , pour ma part j'ai toujours du mal à trouver du sens.
Si les mathématiques sont solides à l'heure actuelle, c'est parce que les axiomes ont été choisis selon des bases solides. En admettant goldbach comme vraie (ou fausse) tu t'exposes à un risque trop élevé d'inconsistance de ton système d'axiome qui permettrait potentiellement de démontrer certaines choses et leur contraire (ce qui induirait une démonstration pour l'absurde de l'hypothèse de goldbach, d'ailleurs), ou de démontrer des choses fausses mais vraies dans ton système faussé.
Certains mathématiciens ont démontré des choses fort interessantes en utilisant des systèmes d'axiomes "faux" mais consistant, voir : géométrie non euclidienne.
12 nov. 2009 à 22:55
Néanmoins, je pense qu'il faut parfois prendre des hypothèses "osées" pour pouvoir progresser. Sinon on se bloque en bouclant sur "elle est vraie ? peut-être pas donc ça marche pas ! elle est vraie ? etc ..."
Donc tant qu'on a pas de contre-exemple je pense qu'on peut "assumer" que la conjecture de Goldbach est vraie, en prenant toutefois quelques réserves (ne pas se reposer totalement dessus, par exemple).
En fait peut-être que Goldbach ne peut pas être démontré ... exemple :
Démontrer que :
1 + 1 = 2
a + (-b) = a - b
a + 0 = a
Ca paraît très simple, un écolier ou collégien nous répondrait "ben forcément c'est comme ça", mais ça ne se démontre pas, ce sont des axiomes ou des propriétés fondamentales de notre système de nombres ...
Je cite mes sources quand même :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome
Cordialement, Bacterius !
12 nov. 2009 à 22:42
(2 puissance n)-1 est premier si n est premier.
Toutes les vérifications le donnaient exact jusqu'à l'arrivée des ordinateurs qui ont monytŽr que pour une ceertaine valeur de n (entre 2 et 3 millions si je me souviens bien), il était faux. Quelle déception, il étaiy si joli.
La seule chose de sûre, c'est le vieux proverbe: avec les nombres premiers, tout ce qui n'est pas évident est très compliqué.
12 nov. 2009 à 22:25
Cordialement, Bacterius !
12 nov. 2009 à 18:28
Oui Forman, j'ai oublié le 2 dans mon ensemble. J'aurais dû écrire
{2,3,5,7,9,11,21,31,41,51,61,71,81,91}
C'est, je crois le plus petit ensemble qui puisse produire tous les nombres pairs entre 4 et 100 par addition de deux de ses éléments.
Je l'ai fabriqué en prenant 2,3,5,7,9 et tous les nombres de la forme 10k+1.
J'aurais aussi pu prendre 2,3,5,7 et tous les nombres de la forme 8k+1 J'aurais obtenu l'ensemble
{2,3,5,7,9,17,25,33,41,49,57,65,73,81,89,97}.
qui permet de faire la même chose.
J'aurais aussi pu prendre 2,3,5,7,9,11 et tous les nombres de la forme 12k+1 J'aurais obtenu l'ensemble
{2,3,5,7,9,11,13,25,37,49,61,73,85,97}.
qui permet de faire la même chose.
Et naturellement, chaque sur-ensemble de chacun de ses ensembles permet de faire la même chose.
On arrive donc à la conclusion que ce n'est pas un exploit que de pouvoir fabriquer tous les nombres pairs avec deux de ses éléments.
Et pour aggraver les choses, je me suis aperçu que les nombres premiers n'avaient pas besoin de tous leus éléments pour y parvenir. En tâtonnant un peu, je me suis aperçu que leur sous-ensemble suivant:
{2,3,5,7,9,11,13,17,23,.29,31,37,47,53,59,61,67,49,83,87}
était suffisant.
On aurait envie de dire que Goldbach a seulement fait remarquer qu'avec beaucoup de moyens, il était possible de réaliser des choses faciles. Mais ce n'est pas exact car pour constituer mes ensembles, j'ai procédé de façon systématique alors que les nombres premiers semblent (pour un observateur humain non muni f'un ordinateur) se présenter d'une façon très désordonnée. C'est là que je précise ce que je voulais dire: sous une apparence de désordre, les nombres premiers sont disposés aux endroits stratégiques qui leurs permettent de conserver la propriété énoncée par Goldbach au moins jusqu'à 10 puissance 15. Si je me souviens bien, des vérifications ont été faites jusqu'à cette valeur.
Donc finalement, je ne sais pas quoi penser. Il faudrait que je fasse un petit programme pour créer des ensembles de 30 nombres aléatoires compris entre 2 et 100 et voir si ces snsembles ont la même propriété que les nombres premiers. Si la plupart d'entre eux ont cette propriété, je me dirai que la remarque de Goldbach n'a pas beaucoup d'intérêt. Sinon, le doute subsistera.
12 nov. 2009 à 00:16
Ca c'est sûr :p
11 nov. 2009 à 21:44
11 nov. 2009 à 18:21
{3,5,7,9,11,21,31,41,51,61,71,81,91},
je peux obtenir n'importe quel nombre pair inférieur ou égal à 100 en faisant la somme de deux de ses éléments.
Ce n'est donc pas surprenant qu'on puisse faire la même chose avec les nombres premiers qui sont beaucoup plus nombreux.
Mais d'un autre côté, c'est vrai que si j'avais pris trente nombres au hasard entre 1 et 100, (trente parce qu'il y a 30 nombres premiers entr 1 et 100), ça ne marcherait peut-être pas. Donc les nombres premiers ont peut-être des vertus que les autres nombres n'ont pas.
11 nov. 2009 à 16:17
Ça risque d'être difficile. Déjà 2 n'est pas impair mais tu l'as mis dans ta liste. En outre, les deux ensembles {2,3,5,7} et {2,3,5,9} font déjà aussi bien l'un que l'autre jusqu'à 14... Donc comment parler d'ensemble le plus petit dans ces conditions?
11 nov. 2009 à 12:56
Mais tu m'as donné une idée. La question que je me pose est la suivante: le fait de pouvoir générer tous les nombres pairs par addition de deux de ses éléments, est-ce une propriété des nombres premiers ou tout simplement une propriété des nombres impairs ? Pour le savoir, je vais essayer de trouver le plus petit ensemble de nombres impairs capable de générer tous les nombres pairs par addition de deux de ses éléments. J'appellerai ça les nombres seconds. Bien entendu, c'est un programme qui va me faire ce travail. J'utiliserai ensuite le tien pour vérifier. Je peux commencer à la main. Je m'aperçois vite que 2,3,5 et 7 me sont indispensables mais que je peux me passer de 11. Si l'ensemble auquel j'aboutis est un sous-ensemble des nombres preniers, je dirai "Bravo Goldbach". si ce n'est pas le cas, je me rangerai du côté de ceux qui disent que ça ne marche que parce que les nombres premiers sont très nombreux.
11 nov. 2009 à 11:54
http://nirvana.informatik.uni-halle.de/~thuering/php/latex-online/latex.php
Je crois que c'est un système typographique utilisé par pas mal d'éditeurs (y compris pour des ouvrages sans formules, du fait de la fiabilité de l'algorithme de mise en page et césure).
Un exemple de code-source basé sur le texte de Bacterius, que vous pouvez compiler à l'adresse plus haut:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Preamble
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Document class
\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{article}
%Characters setup
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%Language setup
\usepackage[french]{babel}
%Math setup
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm}
%Meta data
\title{La conjecture du carré des facteurs}
\author{par \textsc{Bacterius}}
\date{le \today}
%Theorem types
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Document
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Nous démontrons dans ce document la validité de la conjecture du carré des facteurs.
\end{abstract}
\section{Introduction}
Commençons avec quelques rappels.
\begin{definition}
Un entier $n$ est dit semi-premier si et seulement s'il est le produit de deux nombres premiers.
\end{definition}
Lorsqu'elle existe, une telle décomposition est bien sûr unique du fait de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Dans ce qui suit, $n$ est un entier fixé. Pour $m\in\mathbb{N}$, notons $P(m)$ la propriété <<~$m^2-4n$ est un carré parfait~>>. Nous pouvons alors énoncer le
\begin{theorem}\label{maintheorem}
Si $n$ est semi-premier, il existe exactement deux valeurs distinctes de $m$ telles que $P(m)$ soit vérifiée.
\end{theorem}
Comme on va le voir dans la démonstration, la conjecture tire son nom du fait que ces deux valeurs de $m$ permettent d'obtenir les diviseurs (premiers ou triviaux) de $n$ .
\section{Démonstration du théorème \ref{maintheorem}}
Supposons que $n$ est semi-premier et notons $p$ et $q$ ses deux facteurs premiers.
Dans ce qui suit nous allons nous intéresser à l'équation sur $x$
\begin{equation}\label{equationtrinome}
x^2-mx+n=0.
\end{equation}
On notera que le discriminant $\Delta$ du trinôme qui intervient dans \eqref{equationtrinome} est donné par
\begin{equation}
\Delta=m^2-4n.
\end{equation}
\subsection{Conditions nécessaires sur $m$}
On vérifie que nécessairement $m=n+1$ ou $m=p+q$.
\subsection{Réciproque}
On vérifie que $n+1$ et $p+q$ conviennent. Cela achève donc la preuve du théorème \ref{maintheorem}.
\end{document}
11 nov. 2009 à 10:09
Cordialement, Bacterius !
11 nov. 2009 à 04:57
Cordialement, Bacterius !
10 nov. 2009 à 20:50
@Francky :
* Oui la conjecture est assez mal exprimée, je dois y faire attention. C'est bien "m" et "a" les inconnues.
* Je suis pas d'accord : "La conjecture du carré des facteurs", ça ne prend pas de E, puisqu'on parle d'un carré (a², m² ...)
* J'avais justement peur de faire un PDF "trop" développé et qui devienne illisible.
* Il faut que je me débarrasse de cette conjecture de Goldbach. Jamais elle n'aurait dû apparaître ici en fait ... elle ne sert à rien.
* Je note pour la conclusion.
* Je note pour la dernière phrase
Merci pour tous ces conseils, je vais pouvoir réécrire ma démonstration d'une façon plus logique et en faisant sorte qu'elle soit valable :)
Cordialement, Bacterius !
10 nov. 2009 à 16:48
Je reprendrais un point sur les remarques de Forman au niveau de ton pdf :
*Tu parles de solutions. Qui dit solution dit inconnue, hors ici tu ne mentionnes nul part qu'elle est cette inconnue (m, a ou n). Je dirais même que dans ta phrase, tu sembles stipuler que m, a ou n sont connus car donnés.
*Ensuite carrée prend un "E" :). Je te dis ca suite au titre
que tu donnes à ta conjecture : Ta phrase explicative sur la raison de son appellation n'est pas clair
*Ton pdf n'est pas assez structuré à mon goût et surtout il manque cruellement d'articulation. Une démonstration de math ne doit pas être prise comme une succession de formules "balancées comme cela" mais il faut s'attarder sur la logique du raisonnement en mettant en avant cette dernière : A chaque fois que l'on va faire quelque chose, on doit le souligner, ainsi que pourquoi on le fait et quel est l'objectif visé afin de mettre en avant le cheminement du raisonnement.
*Pour finir : je rejoins Forman au niveau de la conclusion de ta démonstration : La conjecture n'est pas démontrée. Tu montres juste que cette dernière est une conséquence de celle de Goldbach, ce qui me permet de rebondir sur une de tes questions (si je me rappelle bien) :
Tu ne pourras pas démontrer la conjecture de Goldbach à partir de la tienne, puisque justement cette dernière est une conséquence de la conjecture de Goldbach.
Du reste pour faire ta démonstration, tu utilises la conjecture de Goldbach. De ce fait en essayant de redémontrer cette dernière à partir de ta conjecture, tu remets en cause toute ta démonstration et donc ce nouveau objectif sera synonyme finalement d'un gros point d'intérrogation.
Bacterius : Ne prend pas mal ces mots, mais dans la mesure ou bientôt tu devras passer le bac, prend tout de suite de bonnes habitudes au niveau de la rédaction, ca t'évitera de perdre des points par un prof un peu trop zelé.
10 nov. 2009 à 15:14
Plus haut (ligne 9) il fallait bien sûr lire
u=(m+a)/2=u'/2
10 nov. 2009 à 15:11
Supposons que les hypothèse de ta conjecture soient vérifiées (càd que n est un quasi-premier) et notons p et q les deux facteurs premiers de n.
Dans ce qui suit j'appelle P(m) la propriété:
"m^2-4n est un carré parfait"
Supposons que P(m) soit vérifiée pour un certain m>=5. Il existe donc un entier naturel a tel que m^2-4n=a. L'équation x^2-mx+n=0 admet donc deux solutions rationelles (pas forcément distinctes si a=0): u=(m+a)/2=uŽ/2 et v=(m-a)/2=v'/2 dont la somme vaut m (on notera que u'=m+a et v'=m-a sont entiers).
En reportant u dans l'équation on trouve:
u^2-mu+n=0
c'est à dire:
u^2-(u+v)u+n=0
c'est à dire:
n=uv
ou encore:
n=u'v'/4
On en déduit que u'v' est divisible par 4, ce qui implique que u' ou v' (au moins l'un des deux) est divisible par 2. Étudions les deux cas possibles:
-si u' est divisible par 2 alors v'=u'-2a est lui aussi divisible par 2
-si v' est divisible par 2 alors u'=v'+2a est lui aussi divisible par 2.
Donc dans tous les cas, u et v sont entiers.
Revenons à l'égalité n=uv. Puisque n est quasi-premier alors on en déduit que
{u,v}={p,q} ou {u,v}={1,n}
c'est à dire que m est forcément égal à p+q ou 1+n.
Démontrons que ces deux valeurs possibles de m sont distinctes. Pour cela, rappelons d'abord que n=pq et calculons:
(1+n)-(p+q)=1+pq-p-q=p(q-1)+1-q=(p-1)(q-1)>0
Donc 1+n<>p+q (car leur différence est non nulle).
On a donc démontré qu'il n'y a que deux valeurs distinctes possibles telles que P(m) soit vraie: p+q et 1+n.
Réciproquement, on vérifie sans problème que ces deux valeurs conviennent donc la conjecteure est démontrée.
10 nov. 2009 à 11:55
Cordialement, Bacterius !
10 nov. 2009 à 11:47
le fait que je sois un garçon n'implique pas que je suis ton frère.
Démontrer une conjecture A, conséquence d'une conjecture B, n'est pas une démonstration de B. Par contre dans ce cas démontrer B induit automatiquement que A est vrai.
Il est possible qu'on puisse démontrer A sans démontrer B mais ça ne prouve pas B.
10 nov. 2009 à 11:46
Cordialement, Bacterius
10 nov. 2009 à 11:43
Fichier Kinds.res non trouvé
si dans SmoothEngine.pas, je remplace
{$R Kinds.res] par [$R SmoothResources.Res},
je peux compiler mais j'ai ensuite une multitude de messages d'erreurs du style "Violation d'accès à ñ'adresse ...". Idem si j'utlise le .exe inclus dans le .zip.
(Je travaille en Delphi 7 sous Windows XP}
Vois-tu une raison à ces problèmes ?
10 nov. 2009 à 11:39
Cordialement, Bacterius !
10 nov. 2009 à 11:38
* Effectivement le terme "solutions" est mal choisi, il faudrait dire "est vérifiée pour deux valeurs de m" c'est bien ça ?
* Je note pour l'alerte au raisonnement par l'absurde ...
* En fait je pensais faire une disjonction de cas sur toute la démonstration : "montrer" les deux solutions, "montrer" que si le discriminant n'est pas un carré parfait, les solutions sont irrationnelles ce qui n'a aucun sens, puis "montrer" que si le discriminant est un carré parfait et que m diffère de celui des deux premières solutions, alors n admettrait deux autres facteurs premiers différents de p et q (impossible, dû au TFA).
* Oui j'ai hésité pour mettre la suite de <>, je vais mettre ça en phrase française :) Et oui je voulais dire que a et b sont différents de p et q ET de 1 et n.
* Merci pour l'avant-avant dernier paragraphe, j'avais du mal à expliquer ça, maintenant graçe à ton commentaire je sais comment m'y prendre.
* La conjecture de Goldbach était un "raccourci" en fait, je l'avais vue il y a pas longtemps donc tiens pourquoi pas ... mais je pense qu'il y a moyen de faire sans, mais je ne vois pas ?
Sinon, ne serait-t-il pas possible de démontrer ma conjecture par une autre méthode, et ainsi démontrer par conséquence la conjecture de Goldbach puisque ma conjecture (alors vérifiée) est elle-même une conséquence de Goldbach ?
* J'ai pas envie de démontrer Goldbach ... on peut vraiment pas faire sans ?
Merci pour tes remarques constructives, elles me permettent de m'améliorer dans la rédaction de mes démonstrations tout en accumulant des connaissances :)
Je vais réécrire la démonstration en prenant en compte tes commentaires, et je reposterai.
Cordialement, Bacterius !
10 nov. 2009 à 11:30
Demande-moi si tu ne comprends pas ce que j'ai voulu dire Bacterius
10 nov. 2009 à 11:27
Pour commencer le plus mesquin: en français on écrit les nombres en toutes lettres jusqu'à dix. Exemple:
"n'admet que deux solutions" et non "2 solutions"
Ceci permet aussi d'éviter des confusions lors d'une lecture rapide du texte.
La première phrase est très confuse. J'ai dû lire le PDF jusqu'au bout avant de comprendre de quelle conjecture tu voulais parler. Tu écris:
"Cette conjecture stipule que n étant un semi-premier*, l'égalité ... n'admet que 2 solutions de m avec m?]4;8[ et a?N."
Or une égalité n'admet pas de solutions: elle peut être vérifiée ou non. En outre, on ne comprend pas tout de suite que a dépend de m. D'autres façons de le dire qui me semblent plus claires:
"Cette conjecture stipule que n étant un semi-premier*, l'équation ... admet exactement deux solutions distinctes (m,a) dans ]4;8[xN" (ici on utilise un produit cartésien pour dire dans quel ensemble on prend le couple (m,a))
Ou encore:
"Cette conjecture stipule que n étant un semi-premier*, l'égalité ... est vérifiée pour exactement deux valeurs distinctes (m,a) dans ]4;8[xN"
Et ma préférée:
"Cette conjecture stipule que n étant un semi-premier*, il existe exactement deux valeurs distinctes de m dans ]4;8[ telles que m^2-4n soit un carré parfait"
Dans la première partie de la démonstration, il est inutile de résoudre le trinôme: il suffit simplement de vérifier que les deux couples de solutions (m,a)=(p+q,p-q) et (m,a)=(n+1,n-1) vérifient l'égalité de la conjecture (ou en d'autres termes, que m^2-4n est un carré parfait lorsque m=p+q et lorsque m=n+1).
Dans la seconde partie de la démonstration, tu raisonnes par l'absurde en supposant la conjecture fausse. C'est à dire, tu supposes qu'il y a une valeur de m distincte de p+q et n+1 telle que l'égalité de la conjecture soit vérifiée pour une certaine valeur de a (ou en d'autres termes, que le discriminant soit un carré parfait). D'abord, quand on commence un raisonnement par l'absurde, on le signale explicitement par courtoisie envers le lecteur :-)
La phrase "Si le discriminant de l'équation obtenue n'est pas un carré parfait..." ne sert à rien: tu viens justement de supposer que c'est un carré parfait au début de ton raisonnement par l'absurde.
Les suites de symboles a?p?q?1?n et b?p?q?1?n ne veulent rien dire. Exemple: pour moi, il est vrai que 1?2?1?2?1 mais ça ne correspond pas à ce que tu voulais dire... Peut-être voulais-tu dire que tu supposes que a et b sont distincts de p, q, 1 et n, qui eux-mêmes sont distincts deux à deux (cette dernière précision étant superflue)?
En fait, si tu supposes que m=a+b et m?p+q et m?1+n tu ne peux pas en déduire que a et b sont distincts de p, q et n. En effet, on pourrait très bien imaginer que a=p mais b?q. En fait, tu peux seulement dire qu'au moins l'un des deux membres du couple (a,b) n'est égal ni à p, ni à q, ni à n, ni à 1. Mais la conclusion reste inchangée: il y a alors effectivement une autre décomposition de n en facteurs premiers.
Je trouve aussi que ça manque de précision à cet endroit. Il faudrait peut-être rajouter un paragraphe pour expliquer que puisque tu as supposé que le trinôme a un discriminant qui est un carré parfait, alors il admet deux solutions entières distinctes qui sont a et b, et donc on déduit que n=ab du fait que m=a+b en reportant l'une des solutions dans le trinôme.
Et une dernière remarque (oui, je sais, je suis cruel :-): tu écris "La conjecture est par conséquent démontrée" or c'est faux. Ce que tu viens de démontrer, c'est que la conjecture décrite au début de ton PDF est une conséquence de la conjecture de Goldbach, ce qui est différent. Il ne te reste plus qu'à démontrer cette dernière pour avoir le droit de laisser la dernière phrase :-)
Au contraire de ce que pourrait suggérer cette abondance de remarques mesquines et comme je le signale au début, je suis quand même fort heureux de trouver ce genre de choses sur Delphifr :-)
9 nov. 2009 à 11:47
il y a d'excellents bouquins de contexte historiques aux grandes démonstrations et aux grands événements, des biographies transverses aux mathématiciens etc que je peux te conseiller si ça t'interesse, ça peut te donner un regard nouveau sur certains d'entre eux
9 nov. 2009 à 11:34
Cordialement, Bacterius !
9 nov. 2009 à 11:24
et il est possible (théorème de godel) que la conjecture de goldbach ne soit pas démontrable, en tout cas pas dans le cadre des mathématiques telles qu'on les concoit à l'heure actuelle
9 nov. 2009 à 11:13
Sérieusement, je ne suis pas sûr de ce que j'avance (pas la démonstration de ma conjecture, l'adaptation à celle de Goldbach, mais pourquoi pas ?)
Cordialement, Bacterius !
9 nov. 2009 à 10:51
:D