Résolution des équations du 4ème degré

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Description

Le code a pour objet la résolution des équations du quatrième degré de la forme :
a4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 = 0
La méthode choisie est assez originale, puisqu'elle fait appel aux trigonoméries rectiligne et hyperbolique et à la représentation complexe des racines.

Après saisie dans une fenêtre de la valeur des 4 coefficients a4, a3, a2, a1, a0 le code calcule les 4 racines complexes x1, x2, x3, x4
Les résultats apparaissent dans la même fenêtre ainsi que dans un plan tel que : abcisse = partie réelle et ordonnée = partie imaginaire.

Source / Exemple :


#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-

#     Résolution des équations du quatrième degré
#     de la forme
#     a4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 = 0

#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

from Tkinter import * 
from math import *
from cmath import*
from tkMessageBox import askokcancel 
#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

def resoudre_4_degre():
    global A3,A2,A1,A0
#    global b,c,d,e
    # considérons l'équation générale du quatrième degré :
    #          a4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 = 0   (1)
    # entrée des coefficients a4 , a3 , a2 , a1 , a0
    a4,a3,a2,a1,a0 = float(entr4.get()),float(entr3.get()),float(entr2.get()),float(entr1.get()),float(entr0.get())
    # transformation de l'équation :
    #          x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0   (2)
    # avec les coefficients :
    b ,c ,d ,e = a3/a4 ,a2/a4 ,a1/a4 ,a0/a4   
    # après le changement de variable : x = X - b/4
    # l'équation (2) devient :
    #          X^4 + p X^2 + q X + r = 0   (3)
    # avec les coefficients :
    p ,q ,r = c-3./8*b**2 ,d-b*c/2+b**3/8 ,e-b*d/4+c*b**2/16-3./256*b**4  
    # étudions l'expression suivante :
    #          X^4 + y X^2 + y^2/4
    # soit :
    #          ( X^2 + y/2 )^2 = -p X^2 - q X - r + y X^2 + y^2/4
    #          ( X^2 + y/2 )^2 = ( y - p ) X^2 - q X + y^2/4 - r
    # son second membre est un carré parfait si le discriminant  de l'équation du second degré en X est nul :
    #          q^2 - 4 (y - p ) ( y^2 /4 - r ) = 0
    #          y^3 -p y^2 - 4 r y + 4 p r - q^2 = 0
    # considérons maintenant l'équation suivante :
    #          A3 y^3 + A2 y^2 + A1 y + A0 = 0
    # avec les coefficients :
    A3 ,A2 ,A1 ,A0 = 1,-p ,-4*r ,4*p*r-q**2
    #  et recherchons une racine réelle y1 :
    resoudre_3_degre()
    if y1==p:
        X1,X2,X3,X4=sqrt(-p/2+1./2*sqrt(p**2-4*r)),sqrt(-p/2-1./2*sqrt(p**2-4*r)),-sqrt(-p/2+1./2*sqrt(p**2-4*r)),-sqrt(-p/2-1./2*sqrt(p**2-4*r))
    else:
        y0=y1
        #  Discriminant D12
        D12=-y0-p+2*q/sqrt(y0-p)        
        #  Discriminant D34
        D34=-y0-p-2*q/sqrt(y0-p)
    # calcul des quatre racines complexes de l'équation : X1, X2, X3, X4
        X1,X2,X3,X4=1./2*(-sqrt(y0-p)+sqrt(D12)),1./2*(-sqrt(y0-p)-sqrt(D12)),1./2*(sqrt(y0-p)+sqrt(D34)),1./2*(sqrt(y0-p)-sqrt(D34))
    # calcul des quatre racines complexes de l'équation : x1, x2, x3, x4
    x1,x2,x3,x4=X1-b/4,X2-b/4,X3-b/4,X4-b/4
    # isolation des parties réelles et imaginaires des quatre racines x1, x2, x3, x4
    xr1,xi1=x1.real,x1.imag
    xr2,xi2=x2.real,x2.imag
    xr3,xi3=x3.real,x3.imag
    xr4,xi4=x4.real,x4.imag
    # affichage des parties réelles et imaginaires avec trois décimales
    x1,x2,x3,x4=complex(round(xr1,3),round(xi1,3)),complex(round(xr2,3),round(xi2,3)),complex(round(xr3,3),round(xi3,3)),complex(round(xr4,3),round(xi4,3))
    # affichage des quatre racines dans le plan complexe de la fenêtre         
    can.coords(c1,L/2+50*xr1-R,L/2-50*xi1-R,L/2+50*xr1+R,L/2-50*xi1+R)
    can.coords(c2,L/2+50*xr2-R,L/2-50*xi2-R,L/2+50*xr2+R,L/2-50*xi2+R)
    can.coords(c3,L/2+50*xr3-R,L/2-50*xi3-R,L/2+50*xr3+R,L/2-50*xi3+R)
    can.coords(c4,L/2+50*xr4-R,L/2-50*xi4-R,L/2+50*xr4+R,L/2-50*xi4+R)
    # affichage de leur légende dans le plan complexe de la fenêtre         
    can.coords(txt_x1,L/2+50*xr1+15,L/2-50*xi1)
    can.coords(txt_x2,L/2+50*xr2,L/2-50*xi2-15)
    can.coords(txt_x3,L/2+50*xr3,L/2-50*xi3+15)
    can.coords(txt_x4,L/2+50*xr4-15,L/2-50*xi4)

    txta.configure(text = "" + str(a4))
    txtb.configure(text = "" + str(a3))
    txtc.configure(text = "" + str(a2))
    txtd.configure(text = "" + str(a1))
    txte.configure(text = "" + str(a0))

    text_x1.configure(text = "" + str(x1))
    text_x2.configure(text = "" + str(x2))
    text_x3.configure(text = "" + str(x3))
    text_x4.configure(text = "" + str(x4))
#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

def resoudre_3_degre():
    global y1,y2,y3
    # considérons l'équation générale du troisième degré :
    #          A3 y^3 + A2 y^2 + A1 y + A0 = 0   (1)
    # soit encore :
    #          A y^3 + B y^2 + C y + D = 0   (2)
    # avec :
    B,C,D=A2/A3,A1/A3,A0/A3
    #  après le changement de variable y = Y - B/3
    # et en posant :
    P,Q=C/3-B*B/9,B*B*B/27-B*C/6+D/2
    # l'équation (2) devient :
    #          Y^3 + 3PY + 2Q = 0
    # calcul du discriminant
    Discriminant=P**3+Q**2
    # calcul de s = (signe de Q) x sqrt(valeur absolue de P)
    if P<>0:s=Q/fabs(Q)*sqrt(fabs(P))
    # calcul des trois racines complexes de l'équation : Y1, Y2, Y3
    if P<0:
        if Discriminant<=0:
            f=acos(Q/(s**3))
            Y1=complex(-2*s*cos(f/3))
            Y2=complex(2*s*cos(60*pi/180-f/3))
            Y3=complex(2*s*cos(60*pi/180+f/3))
        if Discriminant>0:
            fc=acosh(Q/(s**3))
            Y1=complex(-2*s*cosh(fc/3))
            Y2=complex(s*cosh(fc/3),sqrt(3)*s*sinh(fc/3))
            Y3=complex(s*cosh(fc/3),-sqrt(3)*s*sinh(fc/3))
    if P>0:
        fs=asinh(Q/(s**3))
        Y1=complex(-2*s*sinh(fs/3))
        Y2=complex(s*sinh(fs/3),sqrt(3)*s*cosh(fs/3))
        Y3=complex(s*sinh(fs/3),-sqrt(3)*s*cosh(fs/3))
    if P==0:
        if Q>0:Y1=Y2=Y3=complex(pow(2*Q,1./3))
        if Q<0:Y1=Y2=Y3=complex(pow(-2*Q,1./3))
        if Q==0:Y1=Y2=Y3=complex(0)
    # calcul des trois racines complexes de l'équation : y1, y2, y3
    y1,y2,y3=Y1-A2/(3*A3),Y2-A2/(3*A3),Y3-A2/(3*A3)
#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

def presentation(): 
    "Fenêtre-message contenant la description sommaire de la méthode de calcul" 
    msg =Toplevel() 
    Message(msg, bg ="dark green", fg ="white", width =810,font ="Arial 9", 
        text =''' Méthode de calcul\n 
La méthode choisie est assez originale, puisqu'elle fait appel aux trigonoméries rectiligne et hyperbolique et à la représentation complexe des racines.
Le code a pour objet la résolution des équations du quatrième degré de la forme :
          a4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 = 0   (1)

Nota : pour résoudre les équations de degré inférieur, il suffit de choisir la valeur zéro pour les derniers coefficients :
        - troisième degré : a0 = 0
        - second degré : a1 , a0 = 0, 0
        - premier degré : a2 , a1 , a0 = 0 , 0 , 0
et d'éliminer les racines nulles

Après avoir ramené l'équation (1) sous la forme suivante :
          x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0   (2)
avec les nouveaux coefficients :
          b , c , d , e = a3 / a4 , a2 / a4 , a1 / a4 , a0 / a4
Aaprès le changement de variable : x = X - b/4
l'équation (2) devient :
          X^4 + p X^2 + q X + r = 0   (3)
avec les coefficients :
          p ,q ,r = c - 3./8 b^2 ,d - b c / 2 + b^3 / 8 ,e - b d / 4 + c b^2 / 16 - 3 / 256 b^4  
Etudions maintenant l'expression suivante :
          X^4 + y X^2 + y^2 / 4
Elle s'écrit aussi :
          ( X^2 + y/2 )^2 = - p X^2 - q X - r + y X^2 + y^2 / 4
          ( X^2 + y/2 )^2 = ( y - p ) X^2 - q X + y^2 / 4 - r
Son second membre est un carré parfait si le discriminant  de l'équation du second degré en X est nul :
          q^2 - 4 (y - p ) ( y^2 / 4 - r ) = 0
          y^3 - p y^2 - 4 r y + 4 p r - q^2 = 0

Considérons alors l'équation suivante :
          A3 y^3 + A2 y^2 + A1 y + A0 = 0   (3)
avec les coefficients :
          A3 ,A2 ,A1 ,A0 = 1, -p , -4 r , 4 p r - q^2
et recherchons une racine réelle y1 de (3) :
L'équation (3) s'écrit :
          y^3 + B y^2 + C y + D =0   (4)
avec les nouveaux coefficients :
          B, C, D = A2 / A3, A1 / A3,A0 / A3
Après le changement de variable y = Y - B / 3
et en posant :
          P , Q = C/3 - B^2 / 9, B^3 / 27 - B C / 6 + D / 2
l'équation (4) devient :
          Y^3 + 3 P Y + 2 Q = 0   (5)
calcul du discriminant
          Discriminant = P^3 + Q^2
on procède ensuite au calcul des trois racines complexes Y1, Y2, Y3 de l'équation (5)
puis à celui des trois racines complexes y1, y2, y3 de l'équation (4)
ce qui permet de déterminer la racine recherchée ci-dessus : y1

On revient alors au calcul de X en résolvant les équations du second degré suivantes :
          ( X^2 + y/2 )^2 = ( y1 - p ) ( X - q / 2 ( y1 - p ) )^2
          X^2 +/- sqrt ( y1- p ) X  -/+ q / 2 / sqrt ( y1 - p ) + y1 / 2 = 0
ce qui donne X1, X2, X3, X4 puis x1, x2, x3, x4''').pack(padx =10, pady =10)
#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
  
def processus(): 
    "Fenêtre-message contenant la description du processus" 
    msg =Toplevel() 
    Message(msg, bg ="dark green", fg ="white", width =500,font ="Arial 9", 
        text='''PROCESSUS à suivre\n
        1. Entrer la valeur des 4 coefficients a4, a3, a2, a1, a0
            Nota : lorsqu'un coefficient est nul, il est nécessaire d'entrer 0 dans  le champ
        2. Cliquer sur le bouton < Résoudre ! > :
        3. Les 4 racines de l'équation apparaissent sous la forme suivante :
            racine x = partie réelle + partie imaginaire x  j
            ainsi que dans le plan complexe :
                parties réelles en abcisse
                parties imaginaires en ordonnée
        5. Cliquer sur < Quitter le jeu !> pour abandonner la partie\n''').pack(padx =10, pady =10) 
#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
  
def aPropos(): 
    "Fenêtre-message indiquant les versions utilisées" 
    msg =Toplevel() 
    Message(msg, width =200, aspect =100, justify =CENTER, 
        text ='''Résolution des équations du quatrième degré 
        HCD, Novembre 2006
        Python version 2.5
        Tk version 8.4''').pack(padx =10, pady =10)
#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

def quitter(): 
    " pour quitter l'application " 
    ans=askokcancel('Résolution des équations du troisième degré',"Voulez-vous réellement quitter ?") 
    if ans:root.quit()
#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

def makemenu(win):
    "barre de menu"
    top=Menu(win)
    win.config(menu=top)
    R=Menu(top)
    top.add_cascade(label='Présentation',menu=R,underline=0)
    R.add_command(label='Méthode de calcul',command=presentation,underline=0)
    R.add_command(label='Processus',command=processus,underline=0)
    R.add_command(label='A propos',command=aPropos,underline=0)
    Q=Menu(top)
    top.add_cascade(label='Quitter !',menu=Q,underline=0)
    Q.add_command(label='Quitter le jeu !!',command=quitter,underline=0)
#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

#Programme Principal 
root = Tk() 
root.title("Résolution des équations du quatrième degré") 
root.geometry('800x800') 
L=500
R=8
makemenu(root)

#_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

can=Canvas(root,bg='dark green',height=L,width=L) 
can.grid(row=10,column=0) 
can.create_line(0,L/2,L,L/2,fill='orange')
can.create_line(L/2,0,L/2,L,fill='orange')
c1=can.create_oval(0,0,0,0,fill='red',width=1)
c2=can.create_oval(0,0,0,0,fill='red',width=1)
c3=can.create_oval(0,0,0,0,fill='red',width=1)
c4=can.create_oval(0,0,0,0,fill='red',width=1)
(Label(root, text = "Equation du quatrième degré dont on cherche les racines x1,x2,x3,x4 dans le plan complexe :\na4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 = 0\nx1,2,3,4= (partie réelle de x1,2,3,4 + partie imaginaire de x1,2,3,4 x j)")).grid(row=0, column=0)

    #Entrées
entr4 = Entry(root) 
entr4.grid(row=1, column =1) 
entr3 = Entry(root)
entr3.grid(row=2, column =1) 
entr2 = Entry(root)
entr2.grid(row=3, column =1) 
entr1 = Entry(root)
entr1.grid(row=4, column =1)
entr0 = Entry(root)
entr0.grid(row=5, column =1)

(Label(root, text = "entrée du coefficient a4 =")).grid(row=1, column=0,sticky=E)
txta = Label(root)
(Label(root, text = "entrée du coefficient a3 =")).grid(row=2, column=0,sticky=E)
txtb = Label(root)
(Label(root, text = "entrée du coefficient a2 =")).grid(row=3, column=0,sticky=E)
txtc = Label(root)
(Label(root, text = "entrée du coefficient a1 =")).grid(row=4, column=0,sticky=E)
txtd = Label(root)
(Label(root, text = "entrée du coefficient a0 =")).grid(row=5, column=0,sticky=E)
txte = Label(root)

(Label(root, text = "racine x1 =")).grid(row=6, column=0,sticky=E)
text_x1 = Label(root)
text_x1.grid(row=6, column =1) 
(Label(root, text = "racine x2 =")).grid(row=7, column=0,sticky=E)
text_x2 = Label(root)
text_x2.grid(row=7, column =1) 
(Label(root, text = "racine x3 =")).grid(row=8, column=0,sticky=E)
text_x3 = Label(root)
text_x3.grid(row=8, column =1) 
(Label(root, text = "racine x4 =")).grid(row=9, column=0,sticky=E)
text_x4 = Label(root)
text_x4.grid(row=9, column =1) 

can.create_text(L-30,L/2-10,text='axe réel',fill="white")
can.create_text(L/2+40,10,text='axe imaginaire',fill="white")
can.create_text(L-10,L/2+10,text='5',fill="white")
can.create_text(10,L/2+10,text='-5',fill="white")
can.create_text(L/2-10,L/2+10,text='0',fill="white")
can.create_text(L/2-10,10,text='5',fill="white")
can.create_text(L/2-10,L-10,text='-5',fill="white")
txt_x1=can.create_text(-10,0,text='x1',fill="yellow")
txt_x2=can.create_text(-10,0,text='x2',fill="yellow")
txt_x3=can.create_text(-10,0,text='x3',fill="yellow")
txt_x4=can.create_text(-10,0,text='x4',fill="yellow")

button = Button(root, text='Résoudre !', command =resoudre_4_degre) 
button.grid(row=6, column =0) 

root.mainloop() 
root.destroy()

Conclusion :


Ce code devrait intéresser les débutants qui cherchent à utiliser l'interface graphique Tkinter ainsi que ceux confrontés à ce classique en math.
Sur la méthode de calcul elle-même, je n'ai pas trouvé d'exposé clair dans la "littérature" qui traite de façon exhaustive tous les cas particuliers.
Aussi j'invite les fanas à consulter le menu "PRESENTATION" du code, pour voir comment j'ai apporté ma solution.
Commentaires et cotations seront les bienvenus !

Codes Sources

A voir également

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Bonjour,

Si en VB, sur mon modeste site : http://fordom.free.fr/tuto/EQUATVBA.htm qui fût en son temps, sur CS-VBFrance...

Amicalement,
Us.
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24 avril 2007

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