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Transformee de fourier dans les applications audio-numeriques

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Le module Fourier comprend les fonctions utiles dans les applications destinees à manipuler le son numerique. Les commentaires fournissent les definitions de base et expliquent le principe. La transformee de Fourier sert a analyser le spectre de fréquences d'un echantillon sonore. La transformee inverse permet de calculer le son apres filtrage des magnitudes.

Source / Exemple : 


Module ModuleFourier
    
    ' Utilitaires pour calculs audio-numériques

    ' FFT (Fast Fourier Transform) : TRANSFORMEE RAPIDE DE FOURIER

    ' PCM (Pulse Code Modulation) : modulation par impulsions
    ' Sampling-Rate : Cadencement (Fréquence des impulsions) 

    ' La transformée de Fourier permet de calculer le spectre de fréquences 
    ' correspondant à l'échantillon PCM de longueur 2^P2 .
    ' Exemple pour un bloc de 8192 impulsions (2^13),dans un échantillon cadencé à 44100 hz
    ' on aura une fréquence de base de 44100 / 8192 =   5.38330078125 Hz
    ' C'est à dire des magnitudes et angles correspondants aux fréquences :
    ' 10.76 ,   16.14 , 21.53 ,   26.91 , 32.29 ,   37.68 , 43.06 ,   48.44 , 53.83   ...
    ' ... 430.66 ,  436.04 , 441.43 , 446.81 ... jusqu'à  22050 Hz (fréquence de Nyquist)
    ' REMARQUE : On ne connaitra jamais la magnitude exacte du " La 440 " par exemple (diapason)
    ' Pour celà , il faudrait un échantillon cadencé à : (440 / 82) * 8192 = 43957 Hz

    Public Structure NombreComplex
        Public Réel As Double
        Public Imaginaire As Double
    End Structure

    Public Function Fourier(ByVal Suite() As NombreComplex) As NombreComplex()

        'Calcule la transformée d'une suite de nombres complexes

        Dim Nbr As Integer ' Nombre de complexes dans la suite
        Dim P2 As Byte ' Puissance de 2 du nombre entier Nbr
        Dim ISuit, ITrans As Integer ' Compteurs de boucles
        Dim Fin, Taille As Integer ' Butées
        Dim dAngl, dAr As Double
        Dim Alpha, Beta As Double
        Dim k, I, J, L As Integer
        Dim AR, TR, Ti, AI As Double

        ' Nbr est la taille de la suite à transformer
        Nbr = UBound(Suite) + 1 ' Obligatoirement: une puissance de 2
        P2 = Puissance(Nbr)

        Dim Transformée(Nbr - 1) As NombreComplex

        For ISuit = 0 To Nbr - 1
            ITrans = Ivrs(ISuit, P2)
            Transformée(ITrans).Réel = Suite(ISuit).Réel
            Transformée(ITrans).Imaginaire = Suite(ISuit).Imaginaire
        Next ISuit

        Fin = 1
        Taille = 2
        Do While (Taille <= Nbr)
            dAngl = 2 * Math.PI / Taille
            Alpha = 2 * ((System.Math.Sin(0.5 * dAngl)) ^ 2)
            Beta = System.Math.Sin(dAngl)

            I = 0
            Do While (I < Nbr)
                AR = 1 ' Cosinus(0)
                AI = 0 ' Sinus(0)

                J = I
                For L = 1 To Fin
                    k = J + Fin
                    TR = AR * Transformée(k).Réel - AI * Transformée(k).Imaginaire
                    Ti = AI * Transformée(k).Réel + AR * Transformée(k).Imaginaire
                    Transformée(k).Réel = Transformée(J).Réel - TR
                    Transformée(k).Imaginaire = Transformée(J).Imaginaire - Ti
                    Transformée(J).Réel = Transformée(J).Réel + TR
                    Transformée(J).Imaginaire = Transformée(J).Imaginaire + Ti
                    dAr = Alpha * AR + Beta * AI
                    AI = AI - (Alpha * AI - Beta * AR)
                    AR = AR - dAr
                    J = J + 1
                Next L
                I = I + Taille
            Loop
            Fin = Taille
            Taille = Taille * 2
        Loop
        Return Transformée
    End Function

    Public Function Inverse(ByVal Transformée() As NombreComplex) As NombreComplex()

        'Calcule la transformée inverse d'une suite de nombres complexes

        Dim Nbr As Integer ' Nombre de complexes dans la suite
        Dim P2 As Byte ' Puissance de 2 du nombre entier Nbr
        Dim ISuit, ITrans As Integer ' Compteurs de boucles
        Dim Fin, Taille As Integer ' Butées
        Dim dAngl, dAr As Double
        Dim Alpha, Beta As Double
        Dim k, I, J, L As Integer
        Dim AR, TR, Ti, AI As Double

        ' Nbr est la taille de la Transformée à transformer
        Nbr = UBound(Transformée) + 1 ' Obligatoirement: une puissance de 2
        P2 = Puissance(Nbr)

        Dim Suite(Nbr - 1) As NombreComplex

        For ISuit = 0 To Nbr - 1
            ITrans = Ivrs(ISuit, P2)
            Suite(ITrans).Réel = Transformée(ISuit).Réel
            Suite(ITrans).Imaginaire = Transformée(ISuit).Imaginaire
        Next ISuit

        Fin = 1
        Taille = 2
        Do While (Taille <= Nbr)
            dAngl = -2 * Math.PI / Taille
            Alpha = 2 * ((System.Math.Sin(0.5 * dAngl)) ^ 2)
            Beta = System.Math.Sin(dAngl)

            I = 0
            Do While (I < Nbr)
                AR = 1 ' Cosinus(0)
                AI = 0 ' Sinus(0)

                J = I
                For L = 1 To Fin
                    k = J + Fin
                    TR = AR * Suite(k).Réel - AI * Suite(k).Imaginaire
                    Ti = AI * Suite(k).Réel + AR * Suite(k).Imaginaire
                    Suite(k).Réel = Suite(J).Réel - TR
                    Suite(k).Imaginaire = Suite(J).Imaginaire - Ti
                    Suite(J).Réel = Suite(J).Réel + TR
                    Suite(J).Imaginaire = Suite(J).Imaginaire + Ti
                    dAr = Alpha * AR + Beta * AI
                    AI = AI - (Alpha * AI - Beta * AR)
                    AR = AR - dAr
                    J = J + 1
                Next L
                I = I + Taille
            Loop
            Fin = Taille
            Taille = Taille * 2
        Loop
        For I = 0 To UBound(Suite)
            Suite(I).Réel = 2 * Suite(I).Réel \ Nbr
            Suite(I).Imaginaire = 2 * Suite(I).Imaginaire \ Nbr
        Next I
        Return Suite
    End Function

    Public Function Magnitude(ByVal Transformée() As NombreComplex) As Double()
        Dim Id As Integer
        Id = UBound(Transformée) \ 2
        Dim M(Id) As Double
        For Id = 0 To UBound(M)
            M(Id) = Math.Sqrt(Math.Pow(Transformée(Id).Réel, 2) + Math.Pow(Transformée(Id).Imaginaire, 2))
        Next
        Return M
    End Function

    Public Function Ivrs(ByVal IdPuls As Integer, ByVal P2 As Byte) As Integer
        Dim I As Short
        Ivrs = 0

        For I = 1 To P2
            Ivrs = (Ivrs * 2) Or (IdPuls And 1)
            IdPuls = IdPuls \ 2
        Next I

    End Function

    Public Function Puissance(ByVal Entier As Integer) As Byte
        Return Int(Math.Log(Entier) / Math.Log(2))
    End Function

End Module

Conclusion :


Remerciements: Don Cross et Jean Debord

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23 août 2017
Théoriquement, la magnitude est comprise entre -1,79769313486231570E+308 et 1,79769313486231570E+308 mais dans la pratique,je ne sais pas.
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17 avril 2017
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Bonjour comemich,

Merci pour le code et les explications.

En plus de la visualisation du spectre je voudrais faire également un vu-mètre(ou un bargraph pour chaque voie et j'aimerai savoir quelle peut être la magnitude maximum d'un signal.

Merci et bon week-end.

Cheyenne
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20 novembre 2010
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J'ai corrigé et je t'ai mis 10/10 dans la foulée, parce que tu as vraiment fait du bon boulot.
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23 août 2017
Je viens de me renseigner sur le site de Jean Debord. C'est effectivement une erreur de diviser par deux. J'ai mal interprèté l'expression "Double Magnitude" en turbo Pascal qui ne représente pas une valeur deux fois supérieure à la magnitude, mais la valeur de magnitude en double précision.
Dans la pratique, ça ne change pas grand chose. Comme tu l'as dit, ce sont les valeurs relatives qui nous intéressent quand on analyse le spectre. Mais pour plus de rigueur mathématique, il serait souhaitable de corriger le code de la ligne 52 comme suit:

M(Id) = Math.Sqrt(Math.Pow(Transformée(Id).Réel, 2) + Math.Pow(Transformée(Id).Imaginaire, 2))
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ok, merci en tout cas pour ta recette de cuisine. De toute façon, dans un premier temps, c'est l'amplitude relative qui m'intéresse, donc pas de souci.
Voila, c'est tout, merci encore et bonne année.
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