Nombres complexes A: avec la bibliothèque logicielle std complex
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Description
Bonjour,
Les nombres complexes peuvent s'écrie sous l'une des trois formes: algébrique, polaire (ou trigonométrique), exponentielle:
Forme
algébrique: z = [a+i·b], avec i² = -1
polaire: z = ρ·[cosθ+i·sinθ], avec ρ = √(a² + b²), cosθ = a/ρ, sinθ = b/ρ
exponentielle: z = ρ·eⁱᶱ
Les sites qui décrivent les nombres complexes ne manquent pas sur le Net et également dans CodeS-SourceS (voir quelques liens ci-dessous).
Avec Microsoft Visual Studio 14.0 (qui utilise le fichier complex du 01/06/2016), le code du Zip ComplexLib.cpp:
Les instructions mises en commentaire correspondent à des fonctions ou opérations non gérées par la bibliothèque <complex> référencée ci-dessus.
Qu'en est-il des versions plus modernes ?
A titre d'exemple, j'ai ajouté un code pour la résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes: a*x*x + b*x + c = 0.
On y constate notamment qu'on ne peut pas directement écrire l'instruction "habituelle" D = b*b - 4*a*c.
Le prochain article Nombres complexes B: ... présentera une bibliothèque sous forme de struct.
Son contenu sera testé avec les résultats ci-dessus.
Bonne lecture ...
WikipédiA: Formule d'Euler
WikipediA: Euler's formula
Villemin: NOMBRES COMPLEXES
CodeS-SourceS: Nombres complexes ( c++, classe )
CodeS-SourceS: Resolution d'equations (jusqu'au 3eme degre)
CodeS-SourceS: Nombres complexes - complex numbers
EasyCalculation: Complex Number Calculator
Les nombres complexes peuvent s'écrie sous l'une des trois formes: algébrique, polaire (ou trigonométrique), exponentielle:
Forme
algébrique: z = [a+i·b], avec i² = -1
polaire: z = ρ·[cosθ+i·sinθ], avec ρ = √(a² + b²), cosθ = a/ρ, sinθ = b/ρ
exponentielle: z = ρ·eⁱᶱ
Les sites qui décrivent les nombres complexes ne manquent pas sur le Net et également dans CodeS-SourceS (voir quelques liens ci-dessous).
Avec Microsoft Visual Studio 14.0 (qui utilise le fichier complex du 01/06/2016), le code du Zip ComplexLib.cpp:
#include <iostream>
#include <complex>
#define Reel double
void Out(char *s, std::complex<double> z) {
char *ss = "+i";
double im = imag(z);
if (im < 0.0) {ss = "-i"; im = -im;}
std::cout << s << '[' << real(z) << ss << char(250) << im << "]";
} // char(250) = '·' sur la console
#define NL std::cout << ";n"
int main() {
const Reel pi=(Reel)3.14159265358979323846;
const std::complex<double> x(-5,4), y(3,2.1), z(7,-4.88);
std::complex<double> v;
std::cout << "Nombres complexes B: avec struct std::complex<double>n";
Out("nA: x = ", x); Out(", y = ", y); Out(", z = ", z);
v=17; Out("nB: v=17 = ", v); v=z; Out(", v = z = ", v);
std::cout << "nC: x==y ? " << ((x==y) ? "true" : "false");
std::cout << ", x!=y ? " << ((x!=y) ? "true" : "false");
Out("nD: +z = ", +z);
Out(", -z = ", -z);
Out("nE: x+y = ", x+y);
v=z; Out("; v=z, v+=x = ", v+=x);
v=z; Out("; v=z, v+=6 = ", v+=6);
// Out("nE': 3+x = ", 3+x); Out(", x+4 = ", x+4);
Out("nF: x-y = ", x-y);
v=z; Out("; v=z, v-=x = ", v-=x);
v=z; Out("; v=z, v-=6 = ", v-=6);
// Out("nF': 3-x = ", 3-x); Out(", x-1 = ", x-1);
Out("nG: x*y = ", x*y);
v=z; Out("; v=z, v*=x = ", v*=x);
v=z; Out("; v=z, v*=6 = ", v*=6);
// Out("nG': 3*x = ", 3*x); Out(", x*4 = ", x*4);
Out("nH: x/y = ", x/y);
v=z; Out("; v=z, v/=x = ", v/=x);
v=z; Out("; v=z, v/=6 = ", v/=6);
// Out("nH': 3/x = ", 3/x); Out(", x/2.5 = ", x/2.5);
// Out("nI': 3+1/x+z/y-5*x*y = ", 3+1/x+z/y-5*x*y);
std::cout << "nJ: norm(z) = " << norm(z) << ", abs(z) = " << abs(z);
std::cout << ", arg(z) = " << arg(z);
Out("nK: conj(z) = ", conj(z));
Out("nL: cos(z) = ", cos(z)); Out(", cosh(z) = ", cosh(z));
Out("nM: exp(z) = ", exp(z));
Out("nN: log(z) = ", log(z)); Out(", log10(z) = ", log10(z));
// Out("nO': polar(5, pi/6) = ", polar(5, pi/6));
Out("nP: pow(z, 3) = ", pow(z, 3)); Out(", pow(z, 1.5) = ", pow(z, 1.5));
Out(", pow(z, x) = ", pow(z, x));
Out("nQ: sin(z) = ", sin(z)); Out(", sinh(z) = ", sinh(z));
v=sqrt(z); Out("nR: v = sqrt(z) = ", v); Out(", v*v = ", v*v);
Out("nS: tan(z) = ", tan(z)); Out(", tanh(z) = ", tanh(z));
std::cout << "nnEquation du second degre a coefficients complexes:";
std::cout << " a*x*x + b*x + c = 0.nAvec ";
std::complex<double> a(-5,4), b(6,3), c(1,-7);
std::complex<double> D, srD, x1, x2; // D = Discr, srD = √D, x1,x2 = solutions
std::complex<double> k2 = 2, k4 = 4;
Out("a = ", a); Out(", b = ", b); Out(", c = ", c);
Out(", k2 = ", k2); Out(", k4 = ", k4);
D = b*b - k4*a*c; srD = sqrt(D);
Out("n posons D = b*b - k4*a*c = ", D); Out(", srD = sqrt(D) = ", srD);
x1 = (-b + srD)/(k2*a); x2 = (-b - srD)/(k2*a);
Out("n x1 = (-b + srD)/(k2*a) = ",x1);
Out("n x2 = (-b - srD)/(k2*a) = ",x2);
Out("nControl 1: a*x1*x1 + b*x1 + c = ", a*x1*x1 + b*x1 + c);
Out("nControl 2: a*x2*x2 + b*x2 + c = ", a*x2*x2 + b*x2 + c);
getchar();
}donne les résultats suivants:
Nombres complexes B: avec struct std::complex<double> A: x = [-5+i·4], y = [3+i·2.1], z = [7-i·4.88] B: v=17 = [17+i·0], v = z = [7-i·4.88] C: x==y ? false, x!=y ? true D: +z = [7-i·4.88], -z = [-7+i·4.88] E: x+y = [-2+i·6.1]; v=z, v+=x = [2-i·0.88]; v=z, v+=6 = [13-i·4.88] F: x-y = [-8+i·1.9]; v=z, v-=x = [12-i·8.88]; v=z, v-=6 = [1-i·4.88] G: x*y = [-23.4+i·1.5]; v=z, v*=x = [-15.48+i·52.4]; v=z, v*=6 = [42-i·29.28] H: x/y = [-0.49217+i·1.67785]; v=z, v/=x = [-1.32976-i·0.0878049]; v=z, v/=6 = [1.16667-i·0.813333] J: norm(z) = 72.8144, abs(z) = 8.53314, arg(z) = -0.608806 K: conj(z) = [7+i·4.88] L: cos(z) = [49.6212+i·43.2373], cosh(z) = [91.4743+i·540.632] M: exp(z) = [182.948+i·1081.27] N: log(z) = [2.14396-i·0.608806], log10(z) = [0.931109-i·0.264401] P: pow(z, 3) = [-157.102-i·601.146], pow(z, 1.5) = [15.2354-i·19.7286], pow(z, x) = [0.000147522-i·0.00020478] Q: sin(z) = [43.2423-i·49.6155], sinh(z) = [91.4741+i·540.633] R: v = sqrt(z) = [2.78686-i·0.875539], v*v = [7-i·4.88] S: tan(z) = [0.000114343-i·0.999984], tanh(z) = [1+i·5.47112e-07] Equation du second degre a coefficients complexes: a*x*x + b*x + c = 0. Avec a = [-5+i·4], b = [6+i·3], c = [1-i·7], k2 = [2+i·0], k4 = [4+i·0] posons D = b*b - k4*a*c = [-65-i·120], srD = sqrt(D) = [5.97802-i·10.0368] x1 = (-b + srD)/(k2*a) = [-0.6346+i·0.795997] x2 = (-b - srD)/(k2*a) = [1.07362+i·0.155222] Control 1: a*x1*x1 + b*x1 + c = [0+i·1.77636e-15] Control 2: a*x2*x2 + b*x2 + c = [-1.77636e-15+i·1.77636e-15]
Les instructions mises en commentaire correspondent à des fonctions ou opérations non gérées par la bibliothèque <complex> référencée ci-dessus.
Qu'en est-il des versions plus modernes ?
A titre d'exemple, j'ai ajouté un code pour la résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes: a*x*x + b*x + c = 0.
On y constate notamment qu'on ne peut pas directement écrire l'instruction "habituelle" D = b*b - 4*a*c.
Le prochain article Nombres complexes B: ... présentera une bibliothèque sous forme de struct.
Son contenu sera testé avec les résultats ci-dessus.
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Liens
WikipédiA: Nombre complexeWikipédiA: Formule d'Euler
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Villemin: NOMBRES COMPLEXES
CodeS-SourceS: Nombres complexes ( c++, classe )
CodeS-SourceS: Resolution d'equations (jusqu'au 3eme degre)
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Codes Sources
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