Calculs avec des fractions

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Bonjour,

Les fractions sont définies ici avec des entiers de 64 bits.

On s'arrange pour que le dénominateur soit toujours positif.
Cas particulier: fraction indéfinie ↔ dénominateur = 0.

Les erreurs de division par zéro sont traitées, mais attention: pas celles de débordement (without run-time overflow checking) !

Fonctions développées (avec A, B: fractions; N, D, I: entiers):

Constructeur (avec simplification):
    Frac(N, D)
Opérations unaires:
    +A, -A
Affectations:
    += B, -= B, *= B, /= B
Opérations arithmétiques:
    A + B, A - B, A * B, A / B
    A + I, A - I, A * I, A / I
    I + A, I - A, I * A, I / A

La simple structure struct est utilisée pour faciliter la transcription du code dans d'autres langages de programmation: 
#define llint long long int

struct Frac {
  llint num, den; // den >= 0; indéfini: den = 0;

  Frac() {num = 1; den = 0;} // constructor (indéfini)
  Frac(llint n, llint d) {Set(n, d);} // constructor

  Frac& operator += (const Frac& B)
    {Set(num*B.den + den*B.num, den*B.den); return *this;}
  Frac& operator -= (const Frac& B)
    {Set(num*B.den - den*B.num, den*B.den); return *this;}
  Frac& operator *= (const Frac& B)
    {Set(num*B.num, den*B.den); return *this;}
  Frac& operator /= (const Frac& B)
    {Set(num*B.den, den*B.num); return *this;}

  void Set(llint n, llint d) { // avec simplification
    if (d < 0) {n = -n; d = -d;}
    llint r = std::abs(n), s = d, t;
    if (s != 0) { // r = pgcd(r, s)
      do {t = r%s; r = s; s = t;} while (s > 0);
    } else r = 1;
    num = n/r; den = d/r;
  }
};

bool operator == (const Frac& A, const Frac& B)
  {return A.num*B.den == A.den*B.num;}
bool operator != (const Frac& A, const Frac& B)
  {return A.num*B.den != A.den*B.num;}
bool operator < (const Frac& A, const Frac& B)
  {return A.num*B.den < A.den*B.num;}
bool operator > (const Frac& A, const Frac& B)
  {return A.num*B.den > A.den*B.num;}
bool operator <= (const Frac& A, const Frac& B)
  {return A.num*B.den <= A.den*B.num;}
bool operator >= (const Frac& A, const Frac& B)
  {return A.num*B.den >= A.den*B.num;}

Frac operator + (Frac A) {return A;}
Frac operator + (Frac A, const Frac& B) {return A += B;}
Frac operator + (Frac A, llint I) {A.num += I*A.den; return A;}
Frac operator + (llint I, Frac A) {A.num += I*A.den; return A;}
Frac operator - (Frac A) {A.num = -A.num; return A;}
Frac operator - (Frac A, const Frac& B) {return A -= B;}
Frac operator - (Frac A, llint I) {A.num -= A.den*I; return A;}
Frac operator - (llint I, Frac A) {A.num -= I*A.den; return A;}
Frac operator * (Frac A, const Frac& B) {return A *= B;}
Frac operator * (Frac A, llint I) {A.Set(A.num*I, A.den); return A;}
Frac operator * (llint I, Frac A) {A.Set(I*A.num, A.den); return A;}
Frac operator / (Frac A, const Frac& B) {return A /= B;}
Frac operator / (Frac A, llint I) {A.Set(A.num, A.den*I); return A;}
Frac operator / (llint I, Frac A) {A.Set(I*A.den, A.num); return A;}
Pour en faire une "library" (bibliothèque logicielle), il vaut mieux utiliser une structure plus "complète", c'est-à-dire avec des protections.

Les tests dans Fractions.cpp du Zip montrent qu'on peut écrire des combinaisons d'opérations arithmétiques en mélangeant entiers et fractions. 
A = Frac(37961, 60639) = [77/123] = 0.626016
B = Frac(460, -2185) = [-4/19] = -0.210526
Frac C; C = [INDEFINI] = inf

+A = [77/123] = 0.626016
-A = [-77/123] = -0.626016
A+B = [971/2337] = 0.41549
A-B = [1955/2337] = 0.836543
A-A = [0/1] = 0

2*A + 7*B = [-518/2337] = -0.221652 =? -0.221652
2*(A-1) - (B+3-A)*5 = [-27028/2337] = -11.5653 =? -11.5653

Fraction continue: C = [5/2] = 2.5
  C = 2 + 1/C = [12/5] = 2.4
  C = 2 + 1/C = [29/12] = 2.41667
  C = 2 + 1/C = [70/29] = 2.41379
  C = 2 + 1/C = [169/70] = 2.41429
  C = 2 + 1/C = [408/169] = 2.4142
  C = 2 + 1/C = [985/408] = 2.41422
  C = 2 + 1/C = [2378/985] = 2.41421
  C = 2 + 1/C = [5741/2378] = 2.41421
  C = 2 + 1/C = [13860/5741] = 2.41421
  C = 2 + 1/C = [33461/13860] = 2.41421
C = 1 + 1/C = [47321/33461] = 1.41421
Les fonctions Val et Out y sont utilisés pour "vérifier" les calculs.

Le dernier exemple correspond à la fraction continue qui s'approche de √2: 
                1
√2 = 1 + ───────────────
                  1
         2 + ───────────
                    1
             2 + ───────
                 2 + ...

 
Bonne lecture ...
 

Liens

WikipédiA: Fraction (mathématiques)
WikipédiA: Fraction continue
CodeS-SourceS: Fractions, addition, soustraction, multiplication, division et simplification
GitHub: FractionCPP
GitHub: C++ Rational Number Class
 
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