Nombres premiers: crible d'Eratosthène

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Description

J'ai commencé à diffuser dans CodeS-SourceS, Javascript, Divers quelques codes qui concernent les nombres premiers:

premiers: essais de division
Nombres premiers: essais de division avec liste
Nombres premiers: crible d'Eratosthène
Nombres premiers: crible d'Atkin

Comme Javascript est loin d'être performant, je présente ici (sous C/C++/C++.NET) des optimisations de quelques codes intéressants.
De plus, ecrits en C, ces codes me permettent des tests avec mx = un milliard,
( 1000000000 ou 1 000 000 000 ou 1'000'000'000 ou 10^^9 ou billion en anglais )
ou même plus, alors que Javascript se plante !

Accédez à la version actualisée de l'introduction et résumé sur les nombres premiers, complétée de mesures des temps d'exécution: ICI.
 
 

Nombres premiers: crible d'Eratosthène


Nous nous basons sur le code Javascript Sieve3.js:
// i  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ...
// p  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 ...

function Sieve(mx) { // Sieve3.js: mx>=3
  var h=(mx-1)>>1,i,j,p,pp,sv=[]; // sv=new Array(h)
  for (i=0; i<h; i++) sv[i]=true;
  for (i=0,p=3,pp=9; pp<=mx; i++,p+=2,pp=p*p)
    if (sv[i]) // p is prime
      for (j=(pp-3)/2; j<h; j+=p) sv[j]=false;
  return sv; // 2 is not included
}

 
 

SieveA


KX me propose une très bonne traduction de la fonction Sieve (voir sous Commentaires: Crible d'Eratosthène).
J'y remplace simplement le type char par bool:
#include <time.h>
#include <stdio.h>
#include <windows.h>

typedef unsigned _int32 u32;

bool* Sieve(u32 mx) { // Crible d'Eratosthène
  u32 i, j, p, pp, h=(mx-1)/2; // nombres impairs
  bool* sv=(bool*)malloc(sizeof(bool)*h);
    
  for (i=0; i<h; i++) sv[i]=true;
  for (i=0, p=3, pp=9; pp<=mx; i++, p+=2, pp=p*p)
    if (sv[i]) // p is prime
      for (j=(pp-3)/2; j<h; j+=p) sv[j]=false;
  return sv; // 2 non inclus
}

int main() { // SieveA
  clock_t t;
  u32 i, m, n;
  bool* sv;

  printf("SieveA (Crible d'Eratosthene):");
  for (m=10; m<=1000000000; m*=10) {
    t=GetTickCount();
    sv=Sieve(m);
    t=GetTickCount()-t;
    for (i=0, n=1; i<(m-1)/2; i++) if (sv[i]) n++;
    free(sv);
    printf("nm=%d, n=%d, t=%d ms", m , n, t);
  }
  getchar();
}

Temps d'exécution:
m=10, n=4, t=0 ms
m=100, n=25, t=0 ms
m=1000, n=168, t=0 ms
m=10000, n=1229, t=0 ms
m=100000, n=9592, t=0 ms
m=1000000, n=78498, t=0 ms
m=10000000, n=664579, t=31 ms
m=100000000, n=5761455, t=592 ms
m=1000000000, n=50847534, t=7239 ms
 
 

SieveB


Essayons d'utiliser la notion de "pointeur", dans le but de remplacer dans la boucle intérieure sv[j]=false par *s=false.
#include <time.h>
#include <stdio.h>
#include <windows.h>

typedef unsigned _int32 u32;

bool* Sieve(u32 mx) { // Optimisation des "pointeurs"
  u32 p, pp, h=(mx-1)/2; // nombres impairs
  bool *sv=(bool*)malloc(sizeof(bool)*h), *s, *q, *z=sv+h;
    
  for (s=sv; s<z; s++) *s=true;
    for (q=sv, p=3, pp=9; pp<=mx; q++, p+=2, pp=p*p)
    if (*q) // p is prime
      for (s=sv+((pp-3)>>1); s<z; s+=p) *s=false;
    return sv; // 2 non inclus
}

int main() { // SieveB
  clock_t t;
  u32 i, m, n;
  bool* sv;

  printf("SieveB (Crible d'Eratosthene):");
  for (m=10; m<=1000000000; m*=10) {
    t=GetTickCount();
    sv=Sieve(m);
    t=GetTickCount()-t;
    for (i=0, n=1; i<(m-1)/2; i++) if (sv[i]) n++;
    free(sv);
    printf("nm=%d, n=%d, t=%d ms", m , n, t);
  }
  getchar();
}

Temps d'exécution:
m=10, n=4, t=0 ms
m=100, n=25, t=0 ms
m=1000, n=168, t=0 ms
m=10000, n=1229, t=0 ms
m=100000, n=9592, t=0 ms
m=1000000, n=78498, t=0 ms
m=10000000, n=664579, t=31 ms
m=100000000, n=5761455, t=592 ms
m=1000000000, n=50847534, t=7223 ms

L'amélioration n'est pas flagrante, ce qui montre que le compilateur utilisé est performant (Visual C++ 2008 en Release).
 
 

SieveC


Théoriquement, un boolean ne devrait utiliser qu'un seul bit, alors qu'un bool en utilise 8 (et encore plus en Javascript) !
Un "array of bool" (avec 8 fois moins de mémoire) peut être simulé à l'aide du code élémentaire que j'ai "bricolé":
// Simulation d'un "BitSet32" basé sur: typedef unsigned _int32 u32

u32* BitSet32(u32 len, bool ini) {
  u32 i, n=(len+31)>>5, b=(ini)? 0XFFFFFFFF: 0;
  u32* bs=(u32*)malloc(n*sizeof(u32));
  for (i=0,b=(ini=; i<n; i++) bs[i]=b;
  return bs;
}
void SetTrue(u32* bs, u32 i) {bs[i>>5] |= 1<<(i&31);}
void SetFalse(u32* bs, u32 i) {bs[i>>5] &= (~(1<<(i&31)));}
bool Get(u32* bs, u32 i) {return ((bs[i>>5] & (1<<(i&31)))!=0);}

Pour des raisons de performance, je n'utilise pas directement ces fonctions, mais j'introduis le code correspondant "in line":
#include <time.h>
#include <stdio.h>
#include <windows.h>

typedef unsigned _int32 u32;

u32* Sieve(u32 mx) { // Utilisation bitset
  u32 i, j, p, pp, h=(mx-1)/2, n=(h+31)>>5; // nombres impairs
  u32* sv=(u32*)malloc(n*sizeof(u32));
  for (i=0; i<n; i++) sv[i]=0XFFFFFFFF; // All true
    for (i=0, p=3, pp=9; pp<=mx; i++, p+=2, pp=p*p)
      if (sv[i>>5]&(1<<(i&31))) // p is prime
        for (j=(pp-3)/2; j<h; j+=p) sv[j>>5]&=(~(1<<(j&31))); // SetFalse
  return sv; // 2 non inclus
}

int main() { // SieveC
  clock_t t;
  u32 i, m, n, *sv;

  printf("SieveC (Crible d'Eratosthene):");
  for (m=10; m<=1000000000; m*=10) {
    t=GetTickCount();
    sv=Sieve(m);
    t=GetTickCount()-t;
    for (i=0, n=1; i<(m-1)/2; i++)
      if (sv[i>>5]&(1<<(i&31))) n++; // nombre de premiers
    free(sv);
    printf("nm=%d, n=%d, t=%d ms", m , n, t);
  }
  getchar();
}

Temps d'exécution:
m=10, n=4, t=0 ms
m=100, n=25, t=0 ms
m=1000, n=168, t=0 ms
m=10000, n=1229, t=0 ms
m=100000, n=9592, t=0 ms
m=1000000, n=78498, t=0 ms
m=10000000, n=664579, t=16 ms
m=100000000, n=5761455, t=312 ms
m=1000000000, n=50847534, t=4696 ms

Bonne surprise: malgré que l'instruction de la boucle intérieure semble plus compliquée, le temps de calcul s'est amélioré !!!
Le code "Simulation d'un BitSet32" ci-dessus à l'air d'être performant, surtout utilisé "inline"!
Ou est-ce le compilateur qui gère pas très bien les "array of bool" ?

L'utilisation de mots de 64 bits (unsigned _int64) donne des résultats moins bons car le compilateur a l'air d'être (encore) basé sur 32 bits.

Je suis entrain de finir l'article "Nombres premiers: Crible avec cycle additif" dans Javascript, qui, basé sur le crible d'Eratosthène, "élimine d'avance" non seulement les nombres multiples de 2 (pairs), mais aussi les multiples des nombres premiers suivants.
Il sera également suivi d'un article (dans C/C++) avec quelques "optimisations".
 
 
Accédez aux tests et sources de tous mes travaux sur les nombres premiers: ICI (sous Maths, Nombres premiers).

Codes Sources

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