Pour les matheux, définition de l'exponentielle, sinus, cosinus

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Ben voila une petite source.
Je pense qu'elle va surtout intéresser les matheux.
Elle montre d'où vient la fonction exponentielle, sinus, cosinus, PI,..., grâce à une "résolution" de séries.
C'est peut-être utile pour le calcul,... Je vous fais confiance, je pense que vous y trouverez une utilité (c'est déjà "didactique"). Toujours est-il, ce sont les définitions officielles de l'expo, cosinus, etc.
Pour certaines fonctions, il est possible qu'il y ait des problèmes de précision. Il faudra alors régler le nombre de sommes pour la série.
@++

Source / Exemple : 


/* DEFINITION DE L'EXPONENTIELLE AINSI QUE DU COSINUS ET DU SINUS */

/*EXPONENTIELLE*/

/*On définit l'exponentielle comme une série tel que
  la somme de n=0 jusqu'à l'infini du nombre à la puissance n
  sur la factorielle de n.

/**********Fonction factorielle**********/

function factor(h) {
    return (h == 0)?1:(h * factor(h - 1));	//exemple : 5! = 5*4*3*2*1 = 120
}

/****************************************/

/*********Fonction exponentielle*********/

/* J'ai eu quelques soucis avec la fonction puissance
   à cause des infinis. J'ai donc utiliser la fonction 
   prédéfinie Math.pow(). La fonction a été testée jusqu'à 100,
   ensuite les nombres sont trop énormes pour cette fonction.*/

function expo(z){		//la base est e = 2.718281828...
    var som = 0;
    for(n=0;n<155;n++)
    {
        val = (Math.pow(z,n))/(factor(n));
        som = som + val;
    }
    return som;
}

/****************************************/

/******************PI********************/

function pi(){
    var som = 0;
    for(n=0;n<25;n++)    //25 est amplement suffisant car elle converge vite.
    {
        var N = 2*n;
        var N2 = 4*n+1;
        val = (factor(N))/(Math.pow(2,N2)*factor(n)*factor(n)*(2*n+1));
        som = som + val;
    }
    som = som * 6;
    return som;
}
/****************************************/

/*****************SINUS******************/

function sinus(nb){       
    var som = 0;
    for(n=0;n<20;n++)     //à choisir suivant la précision que l'on veut donner, plus le nombre est grand et plus n doit être grand 
    {
        val = (Math.pow(-1,n)*Math.pow(nb,2*n+1))/(factor(2*n+1));
        som = som + val;
    }
    return som;
}

/****************************************/

/****************COSINUS*****************/

function cosinus(nb){
    var som = 0;
    for(n=0;n<20;n++)     //à choisir suivant la précision que l'on veut donner, plus le nombre est grand et plus n doit être grand 
    {
        val = (Math.pow(-1,n)*Math.pow(nb,2*n))/(factor(2*n));
        som = som + val;
    }
    return som;
}

/****************************************/

/***************TANGEANTES***************/

function tang(nb){
    val = sinus(nb)/cosinus(nb);
    return val;
}

/****************************************/

/***************ARC SINUS****************/

function arcsin(nb){
    var som = 0;
    for(n=0;n<30;n++)     //à choisir suivant la précision que l'on veut donner, plus le nombre est grand et plus n doit être grand 
    {
        val = (factor(2*n)*Math.pow(nb,2*n+1))/(Math.pow(2,2*n)*factor(n)*factor(n)*(2*n+1));
        som = som + val;
    }
    return som;
}

/****************************************/

/**************ARC COSINUS***************/
/*On définit l'ARC COSINUS par :

arccos x = pi/2 - arcsin x


  • /


function arccos(nb){
    return pi()/2 - arcsin(nb);
}

/****************************************/

/**************ARC TANGEANTE*************/

function arctg(nb){
    var som = 0;
    for(n=0;n<40;n++)     //à choisir suivant la précision que l'on veut donner, plus le nombre est grand et plus n doit être grand 
    {
        val = (Math.pow(-1,n)*Math.pow(nb,2*n+1))/(2*n+1)
        som = som + val;
    }
    return som;
}

/****************************************/

/***********SINUS HYPERBOLIQUE***********/

function sinh(nb){
    return (expo(nb)-expo(-nb))/2;
}
 
/****************************************/

/**********COSINUS HYPERBOLIQUE**********/

function cosh(nb){
    return (expo(nb) + expo(-nb))/2;
}

/****************************************/

/*********TANGEANTE HYPERBOLIQUE*********/

function tanh(nb){
    return (1-expo(-2*nb))/(1+expo(-2*nb));
}

/****************************************/

/**********SECANTE HYPERBOLIQUE**********/

function sech(nb){
    return 1/cosh(nb);
}

/****************************************/

/*********COSECANTE HYPERBOLIQUE*********/

function cosech(nb){
    return 1/sinh(nb);
}

/****************************************/

/********COTANGEANTE HYPERBOLIQUE********/

function cotanh(nb){
    return cosh(nb)/sinh(nb);
}

/****************************************/ 

document.write("Exponentielle de 1 : " + expo(1) + "<br>"+
	       "Fonction prédéfinie Math.exp(1) : " + Math.exp(1) + "<br><br>"+
               "Nombre PI : " + pi() + "<br>"+
	       "Nombre prédéfini : " + Math.PI + "<br><br>"+
	       "Sinus de PI/2 : " + sinus(pi()/2) + "<br>"+
	       "Sinus prédéfini : " + Math.sin(Math.PI/2) + "<br><br>"+
 	       "Cosinus de PI/4 : " + cosinus(pi()/4) + "<br>"+
	       "Cosinus prédéfini : " + Math.cos(Math.PI/4) + "<br><br>"+
	       "Tangeante de PI/4 : " + tang(pi()/4) + "<br>"+
	       "Tangeante prédéfinie : " + Math.tan(Math.PI/4) + "<br><br>"+
	       "Arc sinus de PI/4 : " + arcsin(pi()/4) + "<br>"+
	       "Arc sinus prédéfini : " + Math.asin(Math.PI/4) + "<br><br>"+
	       "Arc cosinus de PI/4 : " + arccos(pi()/4) + "<br>"+
	       "Arc cosinus prédéfini : " + Math.acos(Math.PI/4) + "<br><br>"+
	       "Arc tangeante de 1 : " + arctg(1) + "<br>"+
	       "Arc tangeante prédéfini : " + Math.atan(1) + "<br><br>"+
	       "Sinus hyperbolique de PI : " + sinh(pi()) + "<br>"+
	       "Cosinus hyperbolique de PI : " + cosh(pi()) + "<br>"+
	       "Tangeante hyperbolique de PI : " + tanh(pi()) + "<br>"+
	       "Sécante hyperbolique de PI : " + sech(pi()) + "<br>"+
	       "Cosécante hyperbolique de PI : " + cosech(pi()) + "<br>"+
	       "Cotangeante hyperbolique de PI : " + cotanh(pi()));

Conclusion :


voila...
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