Approximations de Pi: Formule de Madhava de Sangamagrama

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Description

Bonjour,

En Inde, vers 1400, Madhava de Sangamagrama a réussi à calculer Pi avec 11 décimales correctes.
La formule qu'il a utilisé se présente sous la forme:
   pi = sqrt(12)*Somme(i >=0){(-1)^i / (2*i+1)*3^i}

Son "record" a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kachi (16 décimales).

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi <<< cliquez !.

Le code suivant permet de "simuler" les calculs de Madhava de Sangamagrama:
double Madhava_A(int n) {
  double s=1.0, a=1.0;
  for (int i=1; i<n; ++i) {
    a /= -3.0;
    s += a / (2*i+1);
  }
  return sqrt(12.0)*s;
} // pi = sqrt(12)*Somme(i >=0) {(-1)^i / ((2*i+1)*3^i)}
On trouve Pi avec une précision double après 28 itérations.

Codée d'une manière plus condensée ou sans calculer explicitement 2*i+1:
double Madhava_B(int n) { // Plus condensé
  double s=1.0, a=1.0;
  for (int i=1; i<n; ++i) s += (a /= -3.0) / (2*i+1);
  return sqrt(12.0)*s;
}

double Madhava_C(int n) { // Sans calcul explicite de 2*i+1
  double s=1.0, a=1.0;
  for (int i=3, N=2*n; i<N; i+=2) s += (a /= -3.0) / i;
  return sqrt(12.0)*s;
}


Le Zip contient le seul fichier source Madhava.cpp dont voici l'Output:
pi = sqrt(12)*Somme(i >=0){(-1)^i / ((2*i+1) * 3^i)}

Madhava_A:
  n=  2: pi=3.07920143567800
  n=  4: pi=3.13785289159568
  n=  6: pi=3.14130878546288
  n=  8: pi=3.14156871594178
  n= 10: pi=3.14159051093808
  n= 12: pi=3.14159245428765
  n= 14: pi=3.14159263454731
  n= 16: pi=3.14159265173400
  n= 18: pi=3.14159265340616
  n= 20: pi=3.14159265357140
  n= 22: pi=3.14159265358793
  n= 24: pi=3.14159265358960
  n= 26: pi=3.14159265358977
  n= 28: pi=3.14159265358979
précis:  pi=3.14159265358979

Madhava_B:
  n=  2: pi=3.07920143567800
  n=  4: pi=3.13785289159568
  n=  6: pi=3.14130878546288
  n=  8: pi=3.14156871594178
  n= 10: pi=3.14159051093808
  n= 12: pi=3.14159245428765
  n= 14: pi=3.14159263454731
  n= 16: pi=3.14159265173400
  n= 18: pi=3.14159265340616
  n= 20: pi=3.14159265357140
  n= 22: pi=3.14159265358793
  n= 24: pi=3.14159265358960
  n= 26: pi=3.14159265358977
  n= 28: pi=3.14159265358979
précis:  pi=3.14159265358979

Madhava_C:
  n=  2: pi=3.07920143567800
  n=  4: pi=3.13785289159568
  n=  6: pi=3.14130878546288
  n=  8: pi=3.14156871594178
  n= 10: pi=3.14159051093808
  n= 12: pi=3.14159245428765
  n= 14: pi=3.14159263454731
  n= 16: pi=3.14159265173400
  n= 18: pi=3.14159265340616
  n= 20: pi=3.14159265357140
  n= 22: pi=3.14159265358793
  n= 24: pi=3.14159265358960
  n= 26: pi=3.14159265358977
  n= 28: pi=3.14159265358979
précis:  pi=3.14159265358979


Wiki: Madhava de Sangamagrama, Madhava of Sangamagrama
 
 
Bonne lecture ...

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