Approximations de Pi: Formule de Adamchik-Wagon

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Bonjour,

La formule de Adamchik et Stan Wagon date de 1997.
Pi = Somme(i>=0) {(-1/4)^i * [2/(4*i+1) + 2/(4*i+2) + 1/(4*i+3)]}
Elle est dérivée de la formule BBP (Bailey-Borwein-Plouffe),
et souvent utilisée pour calculer le n-ième chiffre après la virgule de pi en base 16 (ou 4).

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi.

Voici un code qui permet d'utiliser cette formule: 
double Adamchik_Wagon_A(int n) {
  double pi=0.0;
  for (int i=0; i<n; ++i) {
    int d1=4*i+1, d2=d1+1, d3=d2+1;
    pi += ((i&1) ? -1.0 : 1.0) * (2.0/d1 + 2.0/d2 + 1.0/d3) / (1ll<<(2*i));
  }
  return pi;
} // Pi = Somme(i>=0) {(-1/4)^i * [2/(4*i+1) + 2/(4*i+2) + 1/(4*i+3)]}
Il ne faut que 22 itérations pour approcher pi en double précision.

Code équivalant un peu plus condensé: 
double Adamchik_Wagon_B(int n) { // plus condensé
  double pi=10.0/3.0, f=1.0;
  for (int d, i=1; i<n; ++i) pi += (f*=-0.25)*(2.0/(d=4*i+1)+2.0/(d+1)+1.0/(d+2));
  return pi;
}

Par rapport à Bailey-Borwein-Plouffe, cette formule converge un peu moins vite, mais le calcul à chaque itération est plus simple.

Le Zip contient le seul fichier source Adamchik_Wagon.cpp dont voici l'Output: 
Adamchik_Wagon_A:
  Pi = Somme(i>=0) {(-1/4)^i * [2/(4*i+1) + 2/(4*i+2) + 1/(4*i+3)]}
  n= 2: pi=3.11428571428571
  n= 4: pi=3.14067876567877
  n= 6: pi=3.14155370078473
  n= 8: pi=3.14159080712064
  n=10: pi=3.14159256065082
  n=12: pi=3.14159264872791
  n=14: pi=3.14159265332852
  n=16: pi=3.14159265357547
  n=18: pi=3.14159265358900
  n=20: pi=3.14159265358975
  n=22: pi=3.14159265358979
precis: pi=3.14159265358979

Adamchik_Wagon_B:
  Pi = Somme(i>=0) {(-0.25^i) * [2/(4*i+1) + 2/(4*i+2) + 1/(4*i+3)]}
  n= 2: pi=3.11428571428571
  n= 4: pi=3.14067876567877
  n= 6: pi=3.14155370078473
  n= 8: pi=3.14159080712064
  n=10: pi=3.14159256065082
  n=12: pi=3.14159264872791
  n=14: pi=3.14159265332852
  n=16: pi=3.14159265357547
  n=18: pi=3.14159265358900
  n=20: pi=3.14159265358975
  n=22: pi=3.14159265358979
precis: pi=3.14159265358979


Voir aussi Wiki: Formule BBP, Pi sayısı.
pi314: L'univers de Pi.
Wolfram MathWorld: Pi Formulas.
 
 
Bonne lecture ...
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