Approximations de Pi: Formules avec le nombre d'or

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Description

Bonjour,

Nombre d'or: phi = (1 + sqrt(5)) / 2 = 1.618033988749...
J'ai trouvé deux formules équivalentes qui relient pi et le nombre d'or:

Pi = 4 * Somme(i>=0) [1/phi^(2*i+1) + 1/phi^(6*i+3)] * (-1)^i / (2*i+1)

Pi = 4 * Somme(i>=0) [(phi-1)^(2*i+1) + (2*phi-3)^(2*i+1)] * (-1)^i / (2*i+1)

Avec chacune, on obtient pi avec la précision double en 32 itérations.

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi.

Voici d'abord deux codes basés sur la première formule:
const double phi=(1+sqrt(5.0))/2, phi2=phi*phi, phi6=phi2*phi2*phi2;

double NombreOr_A(int n) {
  double pi=0, a=-phi, b=a*phi2;
  for (int i=0; i<n; ++i) {
    a/=-phi2;
    b/=-phi6;
    pi+=(a+b)/(2*i+1);
  }
  return 4*pi;
} // Pi = 4 * Somme(i>=0) (-1)^i / (2*i+1) * [1/phi^(2*i+1) + 1/phi^(6*i+3)]

double NombreOr_B(int n) { // concentré
  double pi=0, a=-phi, b=a*phi2;
  for (int i=0; i<n; ++i) pi+=((a/=-phi2)+(b/=-phi6))/(2*i+1);
  return 4*pi;
} // Pi = 4 * Somme(i>=0) (-1)^i / (2*i+1) * [1/phi^(2*i+1) + 1/phi^(6*i+3)]


Et deux autres basés sur la seconde formule:
Pi = 4 * Somme(i>=0) [(phi-1)^(2*i+1) + (2*phi-3)^(2*i+1)] * (-1)^i/(2*i+1)
const double phi=(1+sqrt(5.0))/2, phi1=phi-1, phi23=2*phi-3;

double NombreOr_C(int n) {
  double pi=0, a=-1/phi1, b=-1/(2*phi-3);
  for (int i=0; i<n; ++i) {
    a*=-phi1*phi1;
    b*=-phi23*phi23;
    pi+=(a+b)/(2*i+1);
  };
  return 4*pi;
} // Pi = 4 * Somme(i>=0) [(phi-1)^(2*i+1) + (2*phi-3)^(2*i+1)] * (-1)^i/(2*i+1)

double NombreOr_D(int n) { // concentré
  double pi=0, a=-1/phi1, b=-1/(2*phi-3);
  for (int i=1, N=2*n; i<N; i+=2) pi+=((a*=-phi1*phi1) + (b*=-phi23*phi23))/i;
  return 4*pi;
}


Le Zip contient le seul fichier source NombreOr.cpp dont voici l'Output:
NombreOr_A:
Pi = 4 * Somme(i>=0) [1/phi^(2*i+1) + 1/phi^(6*i+3)] * (-1)^i/(2*i+1)
  n= 4: pi=3.13712779751530
  n= 8: pi=3.14154350897122
  n=12: pi=3.14159194875965
  n=16: pi=3.14159264227952
  n=20: pi=3.14159265339661
  n=24: pi=3.14159265358636
  n=28: pi=3.14159265358973
  n=32: pi=3.14159265358979
precis: pi=3.14159265358979

NombreOr_B:
Pi = 4 * Somme(i>=0) [1/phi^(2*i+1) + 1/phi^(6*i+3)] * (-1)^i/(2*i+1)
  n= 4: pi=3.13712779751530
  n= 8: pi=3.14154350897122
  n=12: pi=3.14159194875965
  n=16: pi=3.14159264227952
  n=20: pi=3.14159265339661
  n=24: pi=3.14159265358636
  n=28: pi=3.14159265358973
  n=32: pi=3.14159265358979
precis: pi=3.14159265358979

NombreOr_C:
Pi = 4 * Somme(i>=0) [(phi-1)^(2*i+1) + (2*phi-3)^(2*i+1)] * (-1)^i/(2*i+1)
  n= 4: pi=3.13712779751530
  n= 8: pi=3.14154350897122
  n=12: pi=3.14159194875965
  n=16: pi=3.14159264227952
  n=20: pi=3.14159265339661
  n=24: pi=3.14159265358636
  n=28: pi=3.14159265358973
  n=32: pi=3.14159265358979
precis: pi=3.14159265358979

NombreOr_D:
Pi = 4 * Somme(i>=0) [(phi-1)^(2*i+1) + (2*phi-3)^(2*i+1)] * (-1)^i/(2*i+1)
  n= 4: pi=3.13712779751530
  n= 8: pi=3.14154350897122
  n=12: pi=3.14159194875965
  n=16: pi=3.14159264227952
  n=20: pi=3.14159265339661
  n=24: pi=3.14159265358636
  n=28: pi=3.14159265358973
  n=32: pi=3.14159265358979
precis: pi=3.14159265358979


Voir aussi
Wiki: Nombre d'or.
Des trucs et des maths: Une formule qui relie pi et le nombre d'or.


Bonne lecture ...

Codes Sources

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