Approximations de Pi: Formule de Lagny

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Bonjour,

Thomas Fantet de Lagny a trouvé cette formule en 1682:
Pi = 6 * [1/(1*3°) - 1/(3*3¹) + 1/(5*3²) - 1/(7*3³) + ...] / racine(3)
Il l'utilisa en 1719 pour calculer 127 décimales de Pi: les 112 premiers étaient corrects !
C'est un exemple de série alternée basée sur le développement de arctangente avec l'argument 1/racine(3).

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi.

Voici deux codes "équivalents", dont le second est plus condensé et évite de calculer explicitement (2*i + 1): 
double Lagny_A(int n) {
  double pi=1, a=1;
  for (int i=1; i<n; ++i) {
    a /= -3;
    pi += a/(2*i+1);
  }
  return 6*pi/1.73205080756887729;
}

double Lagny_B(int n) { // condensé
  double pi=1, a=1;
  for (int i=3, N=2*n+1; i<N; i+=2) pi += (a /= -3) / i;
  return 6*pi/1.73205080756887729;
}
La convergence est assez rapide puisqu'il ne faut 30 itérations pour calculer pi avec la précision double.

Le Zip contient le seul fichier source Lagny.cpp dont voici l'Output: 
Lagny_A:
Pi = 6 * [1/(1*3^0) - 1/(3*3^1) + 1/(5*3^2) - 1/(7*3^3) + ...] / racine(3)
  n =  3: Pi=3.15618147156995
  n =  6: Pi=3.14130878546288
  n =  9: Pi=3.14159977381151
  n = 12: Pi=3.14159245428765
  n = 15: Pi=3.14159265952171
  n = 18: Pi=3.14159265340617
  n = 21: Pi=3.14159265359564
  n = 24: Pi=3.14159265358960
  n = 27: Pi=3.14159265358980
  n = 30: Pi=3.14159265358979
  precis: pi=3.14159265358979

Lagny_B:
Pi = 6 * [1/(1*3^0) - 1/(3*3^1) + 1/(5*3^2) - 1/(7*3^3) + ...] / racine(3)
  n =  3: Pi=3.15618147156995
  n =  6: Pi=3.14130878546288
  n =  9: Pi=3.14159977381151
  n = 12: Pi=3.14159245428765
  n = 15: Pi=3.14159265952171
  n = 18: Pi=3.14159265340617
  n = 21: Pi=3.14159265359564
  n = 24: Pi=3.14159265358960
  n = 27: Pi=3.14159265358980
  n = 30: Pi=3.14159265358979
  precis: pi=3.14159265358979


Voir aussi: Thomas Fantet de Lagny.
 
 
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