Approximations de Pi: Algorithme de Brent-Salamin

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Description

L'algorithme de Brent-Salamin (souvent appelé algorithme de Gauss–Legendre) date de 1976.
Il faut 3 itérations pour la double précision, et selon certaines sources, 19 pour 1'000'000, et 31 pour 3'200'000'000 chiffres après la virgule.

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi.

Voici un code personnel basé sur Gauss–Legendre algorithm.
Il est légèrement plus difficile à programmer: 
double Brent_Salamin_A(int n) { // personnel
  double a=1.0, b=1.0/sqrt(2.0), u=0.25;
  for (int i=1, p=1; i<=n; ++i) {
    double aa=(a+b)/2.0;
    b = sqrt(a*b);
    u -= (a-aa)*(a-aa)*p;
    a = aa;
    p *= 2;
  }
  return (a+b)*(a+b)/u/4.0;
}

double Brent_Salamin_B(int n) { // concentré
  double a=1.0, aa, b=1.0/sqrt(2.0), u=0.25;
  for (int i=1, p=1; i<=n; ++i, a=aa, p<<=1)
    {aa = (a+b)/2.0; b = sqrt(a*b); u -= (a-aa)*(a-aa)*p;}
  return (a+b)*(a+b)/u/4.0;
}
Cet algorithme hyperrapide ne présente qu'un seul "inconvénient": le calcul d'une racine carrée à chaque itération.

Le Zip contient le seul fichier source Brent-Salamin.cpp dont voici l'Output: 
Brent_Salamin_A:
  n = 1: pi=3.14057925052217
  n = 2: pi=3.14159264621354
  n = 3: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

Brent_Salamin_B:
  n = 1: pi=3.14057925052217
  n = 2: pi=3.14159264621354
  n = 3: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979


Voir aussi Wiki: Formule de Brent-Salamin.
pi314: L'univers de Pi
The Math Forum: Calculating Pi - Brent-Salamin Algorithm
 
 
Bonne lecture ...
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