Approximations de Pi: Fractions continues

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Bonjour,

En fait, il s'agit de fractions continues généralisées.
Le développement en fractions continues est souvent attribué à William Brounker (1620-1684).

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi.

Une première fraction continue induit le code suivant: 
double Fraction_A(int n) {
  //                    1
  // Pi/4 = -----------------------
  //                    1^2
  //        1 + -------------------
  //                      3^2
  //            2 + ---------------
  //                        5^2
  //                2 + -----------
  //                          7^2
  //                    2 + -------
  //                        2 + ...
  double f=0;
  for (int i=2*n-1; i>0; i-=2) f = (float)i*i/(2 + f);
  return 4/(1 + f); // ~ pi
}
Malheureusement, avec 100'000 itérations, on n'obtient Pi qu'avec une précision de trois ou quatre chiffres après la virgule !

Une autre fraction continue donne un résultat un peu meilleur: 
double Fraction_B(int n) {
  //                    1^2         
  // Pi = 3 + -----------------------
  //                      3^2
  //          6 + -------------------
  //                        5^2
  //              6 + ---------------
  //                          7^2
  //                  6 + -----------
  //                            9^2
  //                      6 + -------
  //                          6 + ...
  double f=0;
  for (int i=2*n-1; i>0; i-=2) f = (float)i*i/(6 + f);
  return 3+f; // ~ pi
}
Il lui faut environ 32000 itérations pour atteindre la précision double.

Le Zip contient le seul fichier source FractionContinue.cpp dont voici l'Output: 
Fraction_A:
               1
Pi/4 = -----------------------
                   1^2
       1 + -------------------
                     3^2
           2 + ---------------
                       5^2
               2 + -----------
                         7^2
                   2 + -------
                       2 + ...

n=     1: pi=2.66666666666667
n=    10: pi=3.23231580940559
n=   100: pi=3.15149340107099
n=  1000: pi=3.14259165433954
n= 10000: pi=3.14169264359684
n=100000: pi=3.14160265349889
  precis: pi=3.14159265358979


Fraction_B:
                   1^2
Pi = 3 + -----------------------
                     3^2
         6 + -------------------
                       5^2
             6 + ---------------
                         7^2
                 6 + -----------
                           9^2
                     6 + -------
                         6 + ...

n= 2000: pi=3.14159265355859
n= 4000: pi=3.14159265358589
n= 6000: pi=3.14159265358864
n= 8000: pi=3.14159265358931
n=10000: pi=3.14159265358954
n=12000: pi=3.14159265358965
n=14000: pi=3.14159265358970
n=16000: pi=3.14159265358973
n=18000: pi=3.14159265358975
n=20000: pi=3.14159265358976
n=22000: pi=3.14159265358977
n=24000: pi=3.14159265358978
n=26000: pi=3.14159265358978
n=28000: pi=3.14159265358978
n=30000: pi=3.14159265358978
n=32000: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

Voir aussi
Wiki: Fraction continue.
pi314: Brounker.
 
 
Bonne lecture ...
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