Approximations de Pi: Formule d'Euler

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Description

Bonjour,

Leonard Euler (15.4.1707 - 18.9.1783) nous à légué la formule:
Pi/2 =
1 + 1/3 + 2/(3*5) + 2*3/(3*5*7) + 2*3*4/(3*5*7*9) + 2*3*4*5/(3*5*7*9*11) + ...

Elle permet de calculer Pi avec une précision "double" en 50 itérations.

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi.

Voici d'abord deux codes qui calculent explicitement le numérateur num et le dénominateur den des termes à ajouter, dont le seconde est écrit d'une manière plus condensée:
double Euler_A(int n) { // avec numérateur et dénominateur
  double pi=1.0,num=1.0,den=1.0;
  for (int i=1; i<n; ++i) {
    num *= i;
    den *= (2*i+1);
    pi += num/den;
  }
  return 2*pi;
} // Pi/2 = 1 + 1/3 + 2/(3*5) + (2*3)/(3*5*7) + (2*3*4)/(3*5*7*9) + ...

double Euler_B(int n) { // plus condensé
  double pi=1.0, num=1.0, den=1.0;
  for (int i=1; i<n; ++i) pi += (num *= i)/(den *= (2*i+1));
  return 2*pi;
} // Pi/2 = 1 + 1/3 + 2/(3*5) + (2*3)/(3*5*7) + (2*3*4)/(3*5*7*9) + ...

Nous pouvons remplacer num/den par un seul facteur fac:
double Euler_C(int n) { // avec un seul facteur
  double pi=1.0, fac=1.0;
  for (int i=1, j=1; i<n; ++i) pi += (fac *= (double)i/(j+=2));
  return 2*pi;
} // Pi/2 = 1 + 1/3 + 2/(3*5) + (2*3)/(3*5*7) + (2*3*4)/(3*5*7*9) + ...


On rencontre aussi la formule d'Euler sous la forme factorisée:
Pi = 2 + (1/3)*(2 + (2/5)*(2 + (3/7)*(2 + (4/9)*(2 + (5/11)*(2 + ...)))))
Le code correspondant est tout simple:
double Euler_D(int n) { // factorisé
  double pi=0.0;
   for (int i=n-1; i>0; --i) pi = 2.0 + pi*i/(2*i+1);
  return pi;
} // Pi = 2 + (1/3)*(2 + (2/5)*(2 + (3/7)*(2 + (4/9)*(2 + (5/11)*(2 + ...)))))


Le Zip contient le fichier Euler.cpp qui donne l'Output suivant:
Euler_A: pi = 2*{1 + 1/3 + 2/(3*5) + (2*3)/(3*5*7) + (2*3*4)/(3*5*7*9) + ...}
  n=  5: pi=3.09841269841270
  n= 10: pi=3.14057816968034
  n= 15: pi=3.14156615934495
  n= 20: pi=3.14159192767515
  n= 25: pi=3.14159263314403
  n= 30: pi=3.14159265300348
  n= 35: pi=3.14159265357277
  n= 40: pi=3.14159265358929
  n= 45: pi=3.14159265358978
  n= 50: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

Euler_B: pi = 2*{1 + 1/3 + 2/(3*5) + (2*3)/(3*5*7) + (2*3*4)/(3*5*7*9) + ...}
  n=  5: pi=3.09841269841270
  n= 10: pi=3.14057816968034
  n= 15: pi=3.14156615934495
  n= 20: pi=3.14159192767515
  n= 25: pi=3.14159263314403
  n= 30: pi=3.14159265300348
  n= 35: pi=3.14159265357277
  n= 40: pi=3.14159265358929
  n= 45: pi=3.14159265358978
  n= 50: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

Euler_C: pi = 2*{1 + 1/3 + 2/(3*5) + (2*3)/(3*5*7) + (2*3*4)/(3*5*7*9) + ...}
  n=  5: pi=3.09841269841270
  n= 10: pi=3.14057816968034
  n= 15: pi=3.14156615934495
  n= 20: pi=3.14159192767515
  n= 25: pi=3.14159263314403
  n= 30: pi=3.14159265300348
  n= 35: pi=3.14159265357277
  n= 40: pi=3.14159265358929
  n= 45: pi=3.14159265358978
  n= 50: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

Euler_D: pi = 2 + (1/3)*(2 + (2/5)*(2 + (3/7)*(2 + (4/9)*(2 + ...))))
  n=  5: pi=3.04761904761905
  n= 10: pi=3.13946968064615
  n= 15: pi=3.14153799317348
  n= 20: pi=3.14159116699150
  n= 25: pi=3.14159261190884
  n= 30: pi=3.14159265239821
  n= 35: pi=3.14159265355526
  n= 40: pi=3.14159265358878
  n= 45: pi=3.14159265358976
  n= 50: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979


Comme la formule d'Euler est souvent utilisée pour calculer une approximation de pi à la main, j'ai ajouté au Zip les fichiers Excel Euler.xls ou Euler.xlsx qui permettent de voir l'évolution des calculs avec numérateur et dénominateur.
Le fichier EulerExcel.jpg en est un "PrintScreen".
 
 
Bonne lecture ...

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