Approximations de Pi: Formule de Newton

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Bonjour,

Voici la formule de Newton:
Pi/6 = 1/1/2 + 1/2/(3*2^3) + (1*3)/(2*4)/(5*2^5) + (1*3*5)/(2*4*6)/(7*2^7) + ...
Elle converge assez rapidement puisqu'on obtient la précision double avec 22 itérations.

Cet article fait partie de la série Approximations de Pi.

Donnons un premier code correspondant à cette formule: 
double Newton_A(int n) {
  double pi=0.5, num=1.0, den=1.0, exp=2.0;
  for (int i=1; i<n; ++i) {
    num *= 2*i-1;
    den *= 2*i;
    exp *= 4;
    pi += num/den/((2*i+1)*exp);
  }
  return 6*pi;
} // Pi/6 = 1/2 + 1/2/(3*2^3) + 3/(2*4)/(5*2^5) + (3*5)/(2*4*6)/(7*2^7) + ...


Remplaçons num/den/exp par la seule variable fac et évitons les calculs de 2*i: 
double Newton_B(int n) { // avec un seul facteur et sans calculs de 2*i
  double pi=0.5, fac=0.5;
  for (int i=2, N=2*n; i<N; i+=2) {
    fac *= (double)(i-1)/i/4;
    pi += fac/(i+1);
  }
  return 6*pi;
} // Pi/6 = 1/2 + 1/2/(3*2^3) + 3/(2*4)/(5*2^5) + (3*5)/(2*4*6)/(7*2^7) + ...


Ce qui donne en plus condensé: 
double Newton_C(int n) { // en plus condensé
  double pi=0.5, fac=0.5;
  for (int i=2, N=2*n; i<N; i+=2) pi += (fac *= (double)(i-1)/i/4)/(i+1);
  return 6*pi;
} // Pi/6 = 1/2 + 1/2/(3*2^3) + 3/(2*4)/(5*2^5) + (3*5)/(2*4*6)/(7*2^7) + ...


Le Zip contient le seul fichier source Newton.cpp qui donne l'Output suivant: 
pi = 6*{1/2 + 1/2/(3*2^3) + 3/(2*4)/(5*2^5) + (3*5)/(2*4*6)/(7*2^7) + ...}

Newton_A:
  n=  2: pi=3.12500000000000
  n=  4: pi=3.14115513392857
  n=  6: pi=3.14157671577487
  n=  8: pi=3.14159198235838
  n= 10: pi=3.14159262287062
  n= 12: pi=3.14159265210589
  n= 14: pi=3.14159265351534
  n= 16: pi=3.14159265358595
  n= 18: pi=3.14159265358959
  n= 20: pi=3.14159265358978
  n= 22: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

Newton_B:
  n=  2: pi=3.12500000000000
  n=  4: pi=3.14115513392857
  n=  6: pi=3.14157671577487
  n=  8: pi=3.14159198235838
  n= 10: pi=3.14159262287062
  n= 12: pi=3.14159265210589
  n= 14: pi=3.14159265351534
  n= 16: pi=3.14159265358595
  n= 18: pi=3.14159265358959
  n= 20: pi=3.14159265358978
  n= 22: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

Newton_C:
  n=  2: pi=3.12500000000000
  n=  4: pi=3.14115513392857
  n=  6: pi=3.14157671577487
  n=  8: pi=3.14159198235838
  n= 10: pi=3.14159262287062
  n= 12: pi=3.14159265210589
  n= 14: pi=3.14159265351534
  n= 16: pi=3.14159265358595
  n= 18: pi=3.14159265358959
  n= 20: pi=3.14159265358978
  n= 22: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979


Voir aussi: Constante Pi

Bonne lecture ...
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