Problème des n-reines

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Le problème des N-Reines consiste à disposer N Reines sur un échiquier de N x N cases sans qu'aucune d'elles ne soit attaquée par une autre.

Trouver une solution est très facile et rapide. Trouver toutes les solutions est plus compliqué.
À cette date (07/07/11), le problème est résolu pour 26 reines.

Je propose 2 méthodes permettant de résoudre le problème pour 15 reines dans un temps raisonnable.

Source / Exemple :


/**

  • algorithme court mais peu efficace
  • @author guehenneux
  • /
public class NReines1 { /**
  • @param arguments
  • /
public static void main(String... arguments) { new NReines1(14); } private final int n; private int nombreSolutions; /**
  • @param n
  • /
public NReines1(int n) { this.n = n; System.out.println(n + " reines"); nombreSolutions = 0; long t0 = System.currentTimeMillis(); placerReines(0, 0, 0, 0); long t1 = System.currentTimeMillis(); System.out.println("solution(s) : " + nombreSolutions); System.out.println("duree de la recherche : " + (t1 - t0) + "ms"); } /**
  • methode recursive permettant de placer n reines
  • @param x
  • index de la colonne ou placer la reine suivant
  • @param bH
  • bits indiquant quelles lignes horizontales sont occupees
  • @param bD
  • bits indiquant quelles lignes diagonales \ sont occupees
  • @param bA
  • bits indiquant quelles lignes diagonales / sont occupees
  • /
private final void placerReines(int x, int bH, long bD, long bA) { int xSuivant = x + 1; int mH = 1; long mD = 1 << x; long mA = 1 << n - xSuivant; for (int y = 0; y < n; y++, mH <<= 1, mD <<= 1, mA <<= 1) { /*
  • on verifie que les lignes horizontales et diagonales passant par
  • la case sont vides
  • /
if ((bH & mH) == 0 && (bD & mD) == 0 && (bA & mA) == 0) { if (xSuivant == n) { nombreSolutions++; } else { placerReines(xSuivant, bH + mH, bD + mD, bA + mA); } } } } } /**
  • algorithme relativement efficace (reste a le paralleliser et a tirer profit
  • des symetries)
  • @author guehenneux
  • /
public class NReines2 { /**
  • @param arguments
  • /
public static void main(String... arguments) { new NReines2(14); } private final int n; private final int limiteMasque; private int nombreSolutions; private int[][] echiquiers; /**
  • @param n
  • largeur et hauteur, au moins 1
  • /
public NReines2(int n) { this.n = n; /*
  • chaque colonne est representee par un entier
  • si une case est libre, le bit correspondant est a 1, sinon il est a 0
  • par exemple pour n = 8, la colonne 10011101 (1 + 4 + 8 + 16 + 128 =
  • 157) signifie que seules les cases 0, 2, 3, 4 et 7 sont libres)
  • /
/*
  • un echiquier est represente par un tableau de colonnes
  • /
/*
  • pour la solution iterative, on utilise un tableau d'echiquiers (un
  • echiquier par niveau de recursivite)
  • par exemple, au niveau 2 de la recursivite, on travaille sur
  • l'echiquier echiquiers[2]
  • /
echiquiers = new int[n][n]; /*
  • ce masque est un '1' suivi de n '0' (purement utilitaire)
  • /
limiteMasque = 1 << n; System.out.println(n + " reines"); nombreSolutions = 0; /*
  • on initialise l'echiquier pour la profondeur 0, toutes les positions
  • sont possibles donc chaque colonne est valorisee avec n bits a 1
  • /
int colonneLibre = limiteMasque - 1; for (int x = 0; x < n; x++) { echiquiers[0][x] = colonneLibre; } long t0 = System.currentTimeMillis(); placerReines(0); long t1 = System.currentTimeMillis(); System.out.println("solution(s) : " + nombreSolutions); System.out.println("duree de la recherche : " + (t1 - t0) + "ms"); } /**
  • methode recursive permettant de placer n reines
  • @param x
  • index de la colonne ou placer la reine suivant
  • /
private final void placerReines(int x) { /*
  • on recupere l'echiquier correspondant a la profondeur courante
  • /
int[] echiquier = echiquiers[x]; /*
  • on recupere la colonne ou placer la reine
  • /
int colonne = echiquier[x]; /*
  • index de la colonne suivante
  • /
int xSuivant = x + 1; if (xSuivant == n) { /*
  • DERNIER COLONNE
  • /
/*
  • s'il y a une case libre, on a une solution
  • /
if (colonne != 0) { nombreSolutions++; } } else { /*
  • PAS ENCORE LA DERNIERE COLONNE
  • /
int[] echiquierSuivant = echiquiers[xSuivant]; int masqueColonne, masqueCase; int i; /*
  • on boucle sur la colonne tant qu'il y a des cases libres
  • /
while (colonne != 0) { /*
  • on prend la prochaine case libre
  • /
masqueCase = colonne ^ (colonne & (colonne - 1)); /*
  • on y place une reine
  • /
colonne &= ~masqueCase; /*
  • on marque les cases sur la meme horizontale
  • /
i = x; while (++i != n) { echiquierSuivant[i] = echiquier[i] & ~masqueCase; } /*
  • on marque les cases sur la meme antidiagonale
  • /
masqueColonne = masqueCase; i = x; while (++i != n && (masqueColonne >>= 1) != 0) { echiquierSuivant[i] &= ~masqueColonne; } /*
  • on marque les cases sur la meme diagonale
  • /
masqueColonne = masqueCase; i = x; while (++i != n && (masqueColonne <<= 1) != limiteMasque) { echiquierSuivant[i] &= ~masqueColonne; } /*
  • on tente de placer une reine sur la colonne suivante
  • /
placerReines(xSuivant); } } } }

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Commentaires

Messages postés
519
Date d'inscription
mercredi 21 mars 2007
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Membre
Dernière intervention
19 décembre 2016
23
Salut,

Non, pour la simple et bonne raison qu'il n'y a pas de solution pour N=2 et N=3.
Par contre c'est prouvé pour N >= 4, il existe d'ailleurs des algorithmes assez simples permettant de trouver 1 solution.
Messages postés
48
Date d'inscription
lundi 4 août 2008
Statut
Membre
Dernière intervention
3 juin 2013

Est-ce qu'il a été prouvé que pour tout N il existe une solution ?

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