Applet polynomes interpolateurs de lagrange (trouver le polynome de degre n-1 qui passe par n points)

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Description

C'est un algo simple qu'on a vu en td d'algebre, j'avais envie d'en faire un programme, alors voila, on clique un peu partout, et il trace le polynome de degre n-1 qui passe par les n points...

Soit x0, x1 .... xn-1 les abscisses des pts, et idem pour y et l'ordonnee les x sont tous differents

il est simple de trouver un polynome Pl tq pl(xi)=0 pour tout i different de l et pl(xl)=1 : on le deffini comme ceci :
pl0=(X-x0)(X-x1) .... (sans mettre le xl evidement)
pl=pl0 / pl0(xl) xl n'est pas racine donc on peut, et on a construit ce polynome... il s'annulle en tout point choisi sauf un ou il vaut 1... on le multiplie par yl, et on fait la somme des pl l variant de 0 a n, et on obtient le polynome a afficher...

pour demontrer qu'il est unique, on en suppose un autre qui passerait par ces n points, et on montre que la difference des deux s'annulle pour ces n points... la difference a donc n racines, et c'est une difference de polynomes de degre n-1 donc un polynome null (de degre - inf)

Source / Exemple :


import java.applet.*;
import java.awt.*;
import java.awt.event.*;

/*

ça donne l'ocasion de revoir un TD d'algebre, de s'entrainer en algorithmique,
et de perfectionner ses conaissances du langage java (même si ce dernier point est moins important :))

à partir d'un certain nombre de points, ça chie un peu à cause des limites du type float,
faudrait pour bien faire utiliser des templates pour les deux classes Polynome et
polynomes_interpolateurs_de_lagrange pour remplacer float par un type qui permettrait une
plus grande précision vers + infinit...

  • /
class Polynome{ private float[] nombres; private int deg; public float getcoef(int n){ return nombres[n]; } public void setcoef(int n, float v){ nombres[n]=v; } public int getdeg(){ return deg; } public float getval(int x){ float v=0; for (int i=0;i<=deg;i++){ v+=nombres[i]*Math.pow(x, i); } return v; } public void Polynome(){} public void init(int n){ nombres=new float[n+1]; deg=n; for (int i=0;i<=deg;i++) nombres[i]=0; } public void plus(Polynome a){ for (int i=0;i<=deg;i++)nombres[i]+=a.getcoef(i); } public void fois(Polynome a){ float[] n=new float[deg+a.getdeg()+1]; for (int i=0;i<=deg+a.getdeg();i++){ n[i]=0; } for (int i=0;i<=deg;i++){ for (int j=0;j<=a.getdeg();j++){ n[i+j]+=a.getcoef(j)*nombres[i]; } } nombres=new float[deg+1+a.getdeg()]; for (int i=0;i<=deg+a.getdeg();i++){ nombres[i]=n[i]; } deg+=a.getdeg(); } public void fois(int a){ for (int i=0;i<=deg;i++)nombres[i]*=a; } public void divise(float f){ for (int i=0;i<=deg;i++)nombres[i]/=f; } } public class polynomes_interpolateurs_de_lagrange extends Applet implements MouseMotionListener { private Polynome result; private int[] lX; private int[] lY; private int length; public void init(){ //j'ai rien trouvé de mieux... mais faut être un peu con pour faire ça sur 100 points... lX=new int[100]; //j'aurais aimé une liste, mais j'ai pas trouvé la syntaxe lY=new int[100]; // result=new Polynome(); result.init(0); length=0; this.addMouseMotionListener(this); this.addMouseListener( new MouseAdapter() { public void mouseClicked(MouseEvent e) { polynomes_interpolateurs_de_lagrange.this.mouseClicked(e); } } ); } public void mouseDragged(MouseEvent e) {} public void mouseMoved(MouseEvent e) {} public void mouseClicked(MouseEvent e){ int x = e.getX(); int y = e.getY(); //lX=new int[length+1]; //lY=new int[length+1]; lX[length]=x; lY[length]=y; length++; if (length>2){ genere_polynome(); } repaint(); } private void genere_polynome(){ result.init(length-1); for (int i=0;i<length;i++){ Polynome temp1=new Polynome(); temp1.init(length-1); temp1.setcoef(0, 1); //p(x)=1*X^0 for (int j=0;j<length;j++){ if (i!=j){ Polynome temp2=new Polynome(); temp2.init(1); temp2.setcoef(0, -lX[j]); temp2.setcoef(1, 1); temp1.fois(temp2); } } //c'est !=0 car le polynome est de degré length-1 et a déjà length-1 racines. length>=3... temp1.divise(temp1.getval(lX[i])); temp1.fois(lY[i]); result.plus(temp1); } } public void paint( Graphics g ) { int sizeX=getSize().width; int sizeY=getSize().height; g.setColor(Color.white); g.fillRect(0, 0, sizeX, sizeY); g.setColor( Color.gray ); for (int i=0;i<sizeX;i+=30){ g.drawLine(i, 0, i, sizeY); } for (int i=0;i<sizeY;i+=30){ g.drawLine(0, i, sizeX, i); } g.setColor( Color.blue ); int y1, y2; if (length>2){ for (int i=0;i<sizeX;i++){ y1=(int)result.getval(i); y2=(int)result.getval(i+1); g.drawLine(i, y1, i+1, y2); } } g.setColor( Color.red ); for (int i=0;i<length;i++){ g.drawOval(lX[i]-5, lY[i]-5, 10, 10); } } }

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Commentaire

Messages postés
12
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dimanche 27 janvier 2008
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Dernière intervention
26 mai 2008

coool...mais vous n'avais un Java Card Applets

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