Méthode d'élimination de gauss-jordan, et du pivot de gauss pour systèmes d'équations linéaires à 3 inconnues

Soyez le premier à donner votre avis sur cette source.

Snippet vu 43 005 fois - Téléchargée 34 fois

Contenu du snippet

"En mathématiques, l'élimination de Gauss ou l'élimination de Gauss-Jordan, nommé en hommmage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan est un algorithme de l'algèbre linéaire pour déterminer les solutions d'un système d'équations linéaires, pour déterminer le rang d'une matrice ou pour calculer l'inverse d'une matrice carrée inversible. Lorsqu'on applique l'élimination de Gauss sur une matrice, on obtient sa forme échelonnée réduite." d'après wikipédia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Élimination de Gauss-Jordan). Je n'aurais pas mieux dit ;)

Source / Exemple :


/*

  • Created by SharpDevelop.
  • User: yanngeffrotin@gmail.com
  • Date: 16/12/2005
  • Time: 19:08
  • /
using System; namespace Pivot_de_Gauss { class MainClass { public static void Main(string[] args) { Console.WriteLine("Méthode du pivot de Gauss avec systèmes d'équations linéaires"); Console.WriteLine("Licence publique générale GNU"); /* Sommaire : 1 - Déclaration des variables 2 - Saisie des nombres 3 - Affichage des équations saisies 4 - Méthode d'élimination des inconnues de Gauss - Jordan 5 - Affichage des résultats 6 - Triangulation du système (pivot de Gauss) 7 - Calcul des résultats 8 - Affichage des solutions 9 - Encore des équations ?
  • /
// 1 - Déclaration des variables // déclaration des connues string [] Tnom={" ","a","b","c","d"} ; // déclaration des tableaux de 4 valeurs flottantes // tableau principal float [,] Tnb = new float[4+1,4+1]; // a=0 float [] Tnb2 = new float[4+1]; float [] Tnb3 = new float[4+1]; // a=0 et b=0 float [] Tnb4 = new float[4+1]; // resultats float [] Tnb5 = new float[4+1]; // entier : nombre d'équations, compteur int cpt, cpt2 ; // flotant : les ratios float ratio, ratio2, ratio3 ; // booléen bool val ; // texte string texte ; do { Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Exemple : ") ; Console.WriteLine("+2x-3y+1z = -4"); Console.WriteLine("-4x+6y+3z = 28"); Console.WriteLine("-6x+5y-2z = 6"); // 2 - Saisie des nombres Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Les saisies"); for(cpt=1;cpt<=3;cpt++) { for(cpt2=1;cpt2<=4;cpt2++) { Console.WriteLine("L" + cpt + ", " + Tnom[cpt2] + " : " ); Tnb[cpt,cpt2] = Int32.Parse(Console.ReadLine()); } } // 3 - Affichage des équations saisies Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Les équations"); for(cpt=1;cpt<=3;cpt++) { Console.WriteLine("{ "+Tnb[cpt,1]+"x + "+Tnb[cpt,2]+"y + "+Tnb[cpt,3]+"z = "+Tnb[cpt,4]); } // 4 - Méthode d'élimination des inconnues de Gauss - Jordan // calcul des ratios (M . X = C donc X = C / M) ratio = Tnb[2,1] / (-Tnb[1,1]) ; ratio2 = Tnb[3,1] / (-Tnb[1,1]) ; // Tnb2[1] = ((Tnb[2,1] / (-Tnb[1,1])) * Tnb[1,1]) + Tnb[2,1] ; // remplissage du tableau 2 Tnb2[1] = (Tnb[1,1] * ratio) + Tnb[2,1] ; Tnb2[2] = (Tnb[1,2] * ratio) + Tnb[2,2] ; Tnb2[3] = (Tnb[1,3] * ratio) + Tnb[2,3] ; Tnb2[4] = (Tnb[1,4] * ratio) + Tnb[2,4] ; // remplissage du tableau 3 // on enlève les x Tnb3[1] = (Tnb[1,1] * ratio2) + Tnb[3,1] ; Tnb3[2] = (Tnb[1,2] * ratio2) + Tnb[3,2] ; Tnb3[3] = (Tnb[1,3] * ratio2) + Tnb[3,3] ; Tnb3[4] = (Tnb[1,4] * ratio2) + Tnb[3,4] ; // nouveau ratio ratio3 = Tnb3[2] / (-Tnb[1,2]) ; // on enlève les y //(/Tnb3[1]*Tnb3[1] : On enlève les incohérences) Tnb4[1] = ((Tnb[1,1] * ratio3) + Tnb3[1])/Tnb3[1]*Tnb3[1] ; Tnb4[2] = ((Tnb[1,2] * ratio3) + Tnb3[2])/Tnb3[2]*Tnb3[2] ; Tnb4[3] = ((Tnb[1,3] * ratio3) + Tnb3[3])/Tnb3[3]*Tnb3[3] ; Tnb4[4] = ((Tnb[1,4] * ratio3) + Tnb3[4])/Tnb3[4]*Tnb3[4] ; // 5 - Affichage des résultats Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Elimination des inconnues"); Console.WriteLine("{ "+Tnb[1,1]+"x + "+Tnb[1,2]+"y + "+Tnb[1,3]+"z = "+Tnb[1,4]); Console.WriteLine("{ "+Tnb2[1]+"x + "+Tnb2[2]+"y + "+Tnb2[3]+"z = "+Tnb2[4]); Console.WriteLine("{ "+Tnb3[1]+"x + "+Tnb3[2]+"y + "+Tnb3[3]+"z = "+Tnb3[4]); // 6 - Triangulation du système (pivot de Gauss) val=true ; Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Pivot de Gauss"); Console.WriteLine("{ "+Tnb[1,1]+"x + "+Tnb[1,2]+"y + "+Tnb[1,3]+"z = "+Tnb[1,4]); if(Tnb2[1]==0 && Tnb2[2]==0) { Console.WriteLine("{ "+Tnb3[1]+"x + "+Tnb3[2]+"y + "+Tnb3[3]+"z = "+Tnb3[4]); Console.WriteLine("{ "+Tnb2[1]+"x + "+Tnb2[2]+"y + "+Tnb2[3]+"z = "+Tnb2[4]); val=false ; } else { Console.WriteLine("{ "+Tnb2[1]+"x + "+Tnb2[2]+"y + "+Tnb2[3]+"z = "+Tnb2[4]); Console.WriteLine("{ "+Tnb4[1]+"x + "+Tnb4[2]+"y + "+Tnb4[3]+"z = "+Tnb4[4]); } // 7 - Calcul des résultats en sens inverse if(val==true) { Tnb5[3] = Tnb4[4] / Tnb4[3] ; Tnb5[2] = (Tnb2[4] - (Tnb2[3]*Tnb5[3])) / Tnb2[2] ; } else { Tnb5[3] = Tnb2[4] / Tnb2[3] ; Tnb5[2] = (Tnb3[4] - (Tnb3[3]*Tnb5[3])) / Tnb3[2] ; } Tnb5[1] = (Tnb[1,4] - (Tnb[1,3]*Tnb5[3]) - (Tnb[1,2]*Tnb5[2])) / Tnb[1,1] ; // 8 - Affichage des solutions /* |1|0|0|x| |0|1|0|y| |0|0|1|z| */ Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Les solutions"); Console.WriteLine("{ x = " + (Tnb[1,4] - (Tnb[1,3]*Tnb5[3]) - (Tnb[1,2]*Tnb5[2])) + " / " + Tnb[1,1] + " = " + Tnb5[1]) ; if(val==true) { Console.WriteLine("{ y = " + (Tnb2[4] - (Tnb2[3]*Tnb5[3])) + " / " + Tnb2[2] + " = " + Tnb5[2]) ; Console.WriteLine("{ z = " + Tnb4[4] + " / " + Tnb4[3] + " = " + Tnb5[3]) ; } else { Console.WriteLine("{ y = " + (Tnb3[4] - (Tnb3[3]*Tnb5[3])) + " / " + Tnb3[2] + " = " + Tnb5[2]) ; Console.WriteLine("{ z = " + Tnb2[4] + " / " + Tnb2[3] + " = " + Tnb5[3]) ; } // 9 - Encore des équations ? do{ Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Encore des équations?(O/N)"); texte=Console.ReadLine(); texte=texte.ToUpper(); }while(texte!="N" && texte!="O") ; }while(texte!="N") ; } } }

Conclusion :


Mon prog trouve des arrondis au lieu de valeurs entières. Il faudrait convertir les flottants en entier.

Exemple avec le système d'équations de wikipédia :
+1x - 1y + 2z = +5
+3x + 2y + 1z = +10
+2x - 3y - 2z = -10

La réponse normale est :
x = 1
y = 2
z = 3

La réponse de mon prog :
x = 0,875
y = 2,125
z = 3,125

Es-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire un arrondi en c#?

A voir également

Ajouter un commentaire

Commentaires

Messages postés
1
Date d'inscription
lundi 28 août 2006
Statut
Membre
Dernière intervention
2 septembre 2006

Je suis quelque peu étonné de l'erreur énorme sur l'exemple :

La réponse normale est :
x = 1
y = 2
z = 3
La réponse du prog :
x = 0,875
y = 2,125
z = 3,125

Avant d'arrondir à posteriori, il me semble que pour la méthode de Gauss, il y a une façon de réduire les erreurs d'arrondi (pivot optimal de Gauss un truc comme ça).
Messages postés
475
Date d'inscription
jeudi 19 juin 2003
Statut
Membre
Dernière intervention
3 novembre 2008

ah oui, en d autres termes, au lieu que ca soit float le type de base dans ton programme, ca va etre CFraction

petite note: j'avais fait cette classe il y a de ca très longtemps, mais je me rappèle tout de même qu'elle fonctionnait nickel

voici un exemple d utilisation:
CFraction fraction1 = new CFraction(1, 2);
CFraction fraction2 = new CFraction(3, 4);
CFraction fraction3 = fraction1 + fraction2;
if(fraction3.negative==false) Console.WriteLine("{0}/{1}", fraction3.nominateur, fraction3.denominateur);
else Console.WriteLine("-{0}/{1}", fraction3.nominateur, fraction3.denominateur);

bon, je vais arreter de polluer les commentaires :D
Messages postés
475
Date d'inscription
jeudi 19 juin 2003
Statut
Membre
Dernière intervention
3 novembre 2008

tu pourrais faire une classe fraction pour résoudre ton problème et pour maintenair ta precision maximale, je vais te passer la mienne:


public class CFraction
{
public int nominateur=0, denominateur=1;
public bool negative;

#region INITIALISATION DES VARIABLES
public CFraction(int x, int y)
{
//il est de la responsabilite de l utilisateur de cette classe de verifier
//si le denominateur est different de zero avant de l utiliser.
if(y==0) y=1; //pour eviter une erreur
if(Math.Sign((double)x/y)==-1)
negative = true;
else negative = false;
nominateur = Math.Abs(x);
denominateur = Math.Abs(y);
}
#endregion

#region OPERATEUR +
public static CFraction operator +(CFraction a, CFraction b)
{
CFraction fractionRetour;
if(b.negative false) fractionRetour CFraction.Addition(a, b);
else fractionRetour = CFraction.Soustraction(a, b);
fractionRetour = CFraction.Reduire(fractionRetour);
return fractionRetour;
}
#endregion
#region OPERATEUR -
public static CFraction operator -(CFraction a, CFraction b)
{
CFraction fractionRetour;
if(b.negative false) fractionRetour CFraction.Soustraction(a, b);
else fractionRetour = CFraction.Addition(a, b);
fractionRetour = CFraction.Reduire(fractionRetour);
return fractionRetour;
}
#endregion
#region MULTIPLICATION DE DEUX FRACTIONS
public static CFraction operator *(CFraction a, CFraction b)
{
int nom, denom;
bool negative;
if((a.negative && b.negative) || (!a.negative && !b.negative))
negative = false;
else
negative = true;
nom = a.nominateur * b.nominateur;
denom = a.denominateur * b.denominateur;
CFraction fractionRetour = new CFraction(nom, denom);
fractionRetour.negative = negative;
fractionRetour = CFraction.Reduire(fractionRetour);
return fractionRetour;
}
#endregion
#region DIVISION DE DEUX FRACTIONS
public static CFraction operator /(CFraction a, CFraction b)
{
int temp;
temp = b.nominateur;
b.nominateur = b.denominateur;
b.denominateur = temp;
return a*b;
}
#endregion
#region FONCTION QUI ADDITIONNE DEUX FRACTIONS
public static CFraction Addition(CFraction a, CFraction b)
{
int nom, denom;
if(a.negative == false)
nom = a.nominateur * b.denominateur + b.nominateur * a.denominateur;
else
nom = - a.nominateur * b.denominateur + b.nominateur * a.denominateur;
denom = a.denominateur * b.denominateur;
return new CFraction(nom, denom);
}
#endregion
#region FONCTION QUI SOUSTRAIT DEUX FRACTIONS
public static CFraction Soustraction(CFraction a, CFraction b)
{
int nom, denom;
if(a.negative == false)
nom = a.nominateur * b.denominateur - b.nominateur * a.denominateur;
else
nom = - a.nominateur * b.denominateur - b.nominateur * a.denominateur;
denom = a.denominateur * b.denominateur;
return new CFraction(nom, denom);
}
#endregion
#region FONCTION QUI REDUIT LES FRACTIONS
public static CFraction Reduire(CFraction fraction)
{
int nom = fraction.nominateur;
int denom = fraction.denominateur;
int reste;
do
{
Math.DivRem(nom, denom, out reste);
if(reste != 0)
{
nom = denom;
denom = reste;
}
}while(reste != 0);

CFraction fractionRetour = new CFraction(fraction.nominateur/denom, fraction.denominateur/denom);
fractionRetour.negative = fraction.negative;
return fractionRetour;
}
#endregion
}
Messages postés
9
Date d'inscription
mercredi 2 avril 2003
Statut
Membre
Dernière intervention
18 décembre 2005

Essayes avec Math.Round()

Vous n'êtes pas encore membre ?

inscrivez-vous, c'est gratuit et ça prend moins d'une minute !

Les membres obtiennent plus de réponses que les utilisateurs anonymes.

Le fait d'être membre vous permet d'avoir un suivi détaillé de vos demandes et codes sources.

Le fait d'être membre vous permet d'avoir des options supplémentaires.