"En mathématiques, l'élimination de Gauss ou l'élimination de Gauss-Jordan, nommé en hommmage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan est un algorithme de l'algèbre linéaire pour déterminer les solutions d'un système d'équations linéaires, pour déterminer le rang d'une matrice ou pour calculer l'inverse d'une matrice carrée inversible. Lorsqu'on applique l'élimination de Gauss sur une matrice, on obtient sa forme échelonnée réduite." d'après wikipédia (
http://fr.wikipedia.org/wiki/Élimination de Gauss-Jordan). Je n'aurais pas mieux dit ;)
Source / Exemple :
/*
- Created by SharpDevelop.
- User: yanngeffrotin@gmail.com
- Date: 16/12/2005
- Time: 19:08
- /
using System;
namespace Pivot_de_Gauss
{
class MainClass
{
public static void Main(string[] args)
{
Console.WriteLine("Méthode du pivot de Gauss avec systèmes d'équations linéaires");
Console.WriteLine("Licence publique générale GNU");
/*
Sommaire :
1 - Déclaration des variables
2 - Saisie des nombres
3 - Affichage des équations saisies
4 - Méthode d'élimination des inconnues de Gauss - Jordan
5 - Affichage des résultats
6 - Triangulation du système (pivot de Gauss)
7 - Calcul des résultats
8 - Affichage des solutions
9 - Encore des équations ?
// 1 - Déclaration des variables
// déclaration des connues
string [] Tnom={" ","a","b","c","d"} ;
// déclaration des tableaux de 4 valeurs flottantes
// tableau principal
float [,] Tnb = new float[4+1,4+1];
// a=0
float [] Tnb2 = new float[4+1];
float [] Tnb3 = new float[4+1];
// a=0 et b=0
float [] Tnb4 = new float[4+1];
// resultats
float [] Tnb5 = new float[4+1];
// entier : nombre d'équations, compteur
int cpt, cpt2 ;
// flotant : les ratios
float ratio, ratio2, ratio3 ;
// booléen
bool val ;
// texte
string texte ;
do
{
Console.WriteLine(" ");
Console.WriteLine("Exemple : ") ;
Console.WriteLine("+2x-3y+1z = -4");
Console.WriteLine("-4x+6y+3z = 28");
Console.WriteLine("-6x+5y-2z = 6");
// 2 - Saisie des nombres
Console.WriteLine(" ");
Console.WriteLine("Les saisies");
for(cpt=1;cpt<=3;cpt++)
{
for(cpt2=1;cpt2<=4;cpt2++)
{
Console.WriteLine("L" + cpt + ", " + Tnom[cpt2] + " : " );
Tnb[cpt,cpt2] = Int32.Parse(Console.ReadLine());
}
}
// 3 - Affichage des équations saisies
Console.WriteLine(" ");
Console.WriteLine("Les équations");
for(cpt=1;cpt<=3;cpt++)
{
Console.WriteLine("{ "+Tnb[cpt,1]+"x + "+Tnb[cpt,2]+"y + "+Tnb[cpt,3]+"z = "+Tnb[cpt,4]);
}
// 4 - Méthode d'élimination des inconnues de Gauss - Jordan
// calcul des ratios (M . X = C donc X = C / M)
ratio = Tnb[2,1] / (-Tnb[1,1]) ;
ratio2 = Tnb[3,1] / (-Tnb[1,1]) ;
// Tnb2[1] = ((Tnb[2,1] / (-Tnb[1,1])) * Tnb[1,1]) + Tnb[2,1] ;
// remplissage du tableau 2
Tnb2[1] = (Tnb[1,1] * ratio) + Tnb[2,1] ;
Tnb2[2] = (Tnb[1,2] * ratio) + Tnb[2,2] ;
Tnb2[3] = (Tnb[1,3] * ratio) + Tnb[2,3] ;
Tnb2[4] = (Tnb[1,4] * ratio) + Tnb[2,4] ;
// remplissage du tableau 3
// on enlève les x
Tnb3[1] = (Tnb[1,1] * ratio2) + Tnb[3,1] ;
Tnb3[2] = (Tnb[1,2] * ratio2) + Tnb[3,2] ;
Tnb3[3] = (Tnb[1,3] * ratio2) + Tnb[3,3] ;
Tnb3[4] = (Tnb[1,4] * ratio2) + Tnb[3,4] ;
// nouveau ratio
ratio3 = Tnb3[2] / (-Tnb[1,2]) ;
// on enlève les y
//(/Tnb3[1]*Tnb3[1] : On enlève les incohérences)
Tnb4[1] = ((Tnb[1,1] * ratio3) + Tnb3[1])/Tnb3[1]*Tnb3[1] ;
Tnb4[2] = ((Tnb[1,2] * ratio3) + Tnb3[2])/Tnb3[2]*Tnb3[2] ;
Tnb4[3] = ((Tnb[1,3] * ratio3) + Tnb3[3])/Tnb3[3]*Tnb3[3] ;
Tnb4[4] = ((Tnb[1,4] * ratio3) + Tnb3[4])/Tnb3[4]*Tnb3[4] ;
// 5 - Affichage des résultats
Console.WriteLine(" ");
Console.WriteLine("Elimination des inconnues");
Console.WriteLine("{ "+Tnb[1,1]+"x + "+Tnb[1,2]+"y + "+Tnb[1,3]+"z = "+Tnb[1,4]);
Console.WriteLine("{ "+Tnb2[1]+"x + "+Tnb2[2]+"y + "+Tnb2[3]+"z = "+Tnb2[4]);
Console.WriteLine("{ "+Tnb3[1]+"x + "+Tnb3[2]+"y + "+Tnb3[3]+"z = "+Tnb3[4]);
// 6 - Triangulation du système (pivot de Gauss)
val=true ;
Console.WriteLine(" ");
Console.WriteLine("Pivot de Gauss");
Console.WriteLine("{ "+Tnb[1,1]+"x + "+Tnb[1,2]+"y + "+Tnb[1,3]+"z = "+Tnb[1,4]);
if(Tnb2[1]==0 && Tnb2[2]==0)
{
Console.WriteLine("{ "+Tnb3[1]+"x + "+Tnb3[2]+"y + "+Tnb3[3]+"z = "+Tnb3[4]);
Console.WriteLine("{ "+Tnb2[1]+"x + "+Tnb2[2]+"y + "+Tnb2[3]+"z = "+Tnb2[4]);
val=false ;
}
else
{
Console.WriteLine("{ "+Tnb2[1]+"x + "+Tnb2[2]+"y + "+Tnb2[3]+"z = "+Tnb2[4]);
Console.WriteLine("{ "+Tnb4[1]+"x + "+Tnb4[2]+"y + "+Tnb4[3]+"z = "+Tnb4[4]);
}
// 7 - Calcul des résultats en sens inverse
if(val==true)
{
Tnb5[3] = Tnb4[4] / Tnb4[3] ;
Tnb5[2] = (Tnb2[4] - (Tnb2[3]*Tnb5[3])) / Tnb2[2] ;
}
else
{
Tnb5[3] = Tnb2[4] / Tnb2[3] ;
Tnb5[2] = (Tnb3[4] - (Tnb3[3]*Tnb5[3])) / Tnb3[2] ;
}
Tnb5[1] = (Tnb[1,4] - (Tnb[1,3]*Tnb5[3]) - (Tnb[1,2]*Tnb5[2])) / Tnb[1,1] ;
// 8 - Affichage des solutions
/* |1|0|0|x|
|0|1|0|y|
|0|0|1|z| */
Console.WriteLine(" ");
Console.WriteLine("Les solutions");
Console.WriteLine("{ x = " + (Tnb[1,4] - (Tnb[1,3]*Tnb5[3]) - (Tnb[1,2]*Tnb5[2])) + " / " + Tnb[1,1] + " = " + Tnb5[1]) ;
if(val==true)
{
Console.WriteLine("{ y = " + (Tnb2[4] - (Tnb2[3]*Tnb5[3])) + " / " + Tnb2[2] + " = " + Tnb5[2]) ;
Console.WriteLine("{ z = " + Tnb4[4] + " / " + Tnb4[3] + " = " + Tnb5[3]) ;
}
else
{
Console.WriteLine("{ y = " + (Tnb3[4] - (Tnb3[3]*Tnb5[3])) + " / " + Tnb3[2] + " = " + Tnb5[2]) ;
Console.WriteLine("{ z = " + Tnb2[4] + " / " + Tnb2[3] + " = " + Tnb5[3]) ;
}
// 9 - Encore des équations ?
do{
Console.WriteLine(" ");
Console.WriteLine("Encore des équations?(O/N)");
texte=Console.ReadLine();
texte=texte.ToUpper();
}while(texte!="N" && texte!="O") ;
}while(texte!="N") ;
}
}
}
Conclusion :
Mon prog trouve des arrondis au lieu de valeurs entières. Il faudrait convertir les flottants en entier.
Exemple avec le système d'équations de wikipédia :
+1x - 1y + 2z = +5
+3x + 2y + 1z = +10
+2x - 3y - 2z = -10
La réponse normale est :
x = 1
y = 2
z = 3
La réponse de mon prog :
x = 0,875
y = 2,125
z = 3,125
Es-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire un arrondi en c#?
La réponse normale est :
x = 1
y = 2
z = 3
La réponse du prog :
x = 0,875
y = 2,125
z = 3,125
Avant d'arrondir à posteriori, il me semble que pour la méthode de Gauss, il y a une façon de réduire les erreurs d'arrondi (pivot optimal de Gauss un truc comme ça).
petite note: j'avais fait cette classe il y a de ca très longtemps, mais je me rappèle tout de même qu'elle fonctionnait nickel
voici un exemple d utilisation:
CFraction fraction1 = new CFraction(1, 2);
CFraction fraction2 = new CFraction(3, 4);
CFraction fraction3 = fraction1 + fraction2;
if(fraction3.negative==false) Console.WriteLine("{0}/{1}", fraction3.nominateur, fraction3.denominateur);
else Console.WriteLine("-{0}/{1}", fraction3.nominateur, fraction3.denominateur);
bon, je vais arreter de polluer les commentaires :D
public class CFraction
{
public int nominateur=0, denominateur=1;
public bool negative;
#region INITIALISATION DES VARIABLES
public CFraction(int x, int y)
{
//il est de la responsabilite de l utilisateur de cette classe de verifier
//si le denominateur est different de zero avant de l utiliser.
if(y==0) y=1; //pour eviter une erreur
if(Math.Sign((double)x/y)==-1)
negative = true;
else negative = false;
nominateur = Math.Abs(x);
denominateur = Math.Abs(y);
}
#endregion
#region OPERATEUR +
public static CFraction operator +(CFraction a, CFraction b)
{
CFraction fractionRetour;
if(b.negative false) fractionRetour CFraction.Addition(a, b);
else fractionRetour = CFraction.Soustraction(a, b);
fractionRetour = CFraction.Reduire(fractionRetour);
return fractionRetour;
}
#endregion
#region OPERATEUR -
public static CFraction operator -(CFraction a, CFraction b)
{
CFraction fractionRetour;
if(b.negative false) fractionRetour CFraction.Soustraction(a, b);
else fractionRetour = CFraction.Addition(a, b);
fractionRetour = CFraction.Reduire(fractionRetour);
return fractionRetour;
}
#endregion
#region MULTIPLICATION DE DEUX FRACTIONS
public static CFraction operator *(CFraction a, CFraction b)
{
int nom, denom;
bool negative;
if((a.negative && b.negative) || (!a.negative && !b.negative))
negative = false;
else
negative = true;
nom = a.nominateur * b.nominateur;
denom = a.denominateur * b.denominateur;
CFraction fractionRetour = new CFraction(nom, denom);
fractionRetour.negative = negative;
fractionRetour = CFraction.Reduire(fractionRetour);
return fractionRetour;
}
#endregion
#region DIVISION DE DEUX FRACTIONS
public static CFraction operator /(CFraction a, CFraction b)
{
int temp;
temp = b.nominateur;
b.nominateur = b.denominateur;
b.denominateur = temp;
return a*b;
}
#endregion
#region FONCTION QUI ADDITIONNE DEUX FRACTIONS
public static CFraction Addition(CFraction a, CFraction b)
{
int nom, denom;
if(a.negative == false)
nom = a.nominateur * b.denominateur + b.nominateur * a.denominateur;
else
nom = - a.nominateur * b.denominateur + b.nominateur * a.denominateur;
denom = a.denominateur * b.denominateur;
return new CFraction(nom, denom);
}
#endregion
#region FONCTION QUI SOUSTRAIT DEUX FRACTIONS
public static CFraction Soustraction(CFraction a, CFraction b)
{
int nom, denom;
if(a.negative == false)
nom = a.nominateur * b.denominateur - b.nominateur * a.denominateur;
else
nom = - a.nominateur * b.denominateur - b.nominateur * a.denominateur;
denom = a.denominateur * b.denominateur;
return new CFraction(nom, denom);
}
#endregion
#region FONCTION QUI REDUIT LES FRACTIONS
public static CFraction Reduire(CFraction fraction)
{
int nom = fraction.nominateur;
int denom = fraction.denominateur;
int reste;
do
{
Math.DivRem(nom, denom, out reste);
if(reste != 0)
{
nom = denom;
denom = reste;
}
}while(reste != 0);
CFraction fractionRetour = new CFraction(fraction.nominateur/denom, fraction.denominateur/denom);
fractionRetour.negative = fraction.negative;
return fractionRetour;
}
#endregion
}
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