Integration numerique methode de gauss-legendre

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La methode de Gauss-Legendre de rang k consiste à remplacer la fonction f par son polynôme d'interpolation de degré k en passant par les points d'abscisses qui sont les racines du polynôme de Legendre de degré k+1.

Polynôme de Legendre s'écrit : Pk(x) = 1/(2^k*k!)* dk/dx^k[x²-1]^k; k=0,...
soit:
P0(x) = 1, P1(x)=x, P2(x) = 1/2(3x²-1)... etc

relation de recurrence:
k*Pk(x) = (2k-1)*xPk-1(x)-(k-1)Pk-2(x); k = 2,3...

notons rkj les racines de Pk+1(x); j=0,...,k
L'intégrale I est approchée par :

Gk = (b-a)/2 * Somme(j=0,k)de_Alpha_k_j*[((b-a)/2)*rkj + (a+b)/2] avec:

Alpha_k_j = [ 2*(1-rkj²) / ((k+1)²[Pk(rkj)]²) ]

Source / Exemple : 


#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) /*fonction à intégrer */
{
 return(exp(-x*x/2.0));
}

double pol_leg(int k,double x)
{
 int i;
 double p,p1,p2;
 p=1;p1=0;p2=0;
 for(i=1;i<=k;i++)
 {
  p2=p1;p1=p;
  p=((2*i-1)*x*p1-(i-1)*p2)/i;
 }
 return(p);
}

double gauss_legendre(double a,double b,int k)
{
 int j;
 double h,r,alpha,pol,s,t,racine[5];
 switch(k) {
 case 0:racine[0]=0.0;break;
 case 1:racine[0]=1.0/sqrt(3.0);racine[1]=-racine[0];break;
 case 2:racine[0]=sqrt(3.0/5.0);racine[1]=0.0;racine[2]=-racine[0];break;
 case 3:racine[0]=sqrt((15+2*sqrt(30))/35);racine[1]=sqrt((15-2*sqrt(30))/35);
	racine[2]=-racine[1];racine[3]=-racine[0];break;
 case 4:racine[0]=sqrt((35+2*sqrt(70))/63);racine[1]=sqrt((35-2*sqrt(70))/63);
	racine[2]=0.0;racine[3]=-racine[1];racine[4]=-racine[0];break;
 }
 h=b-a;
 t=0;
 s=0.0;
 for(j=0;j<=k;j++)
 {
  r = racine[j];
  pol = pol_leg(k,r);
  alpha = 2.0*(1.0-r*r)/((k+1)*(k+1)*pol*pol);
  s += alpha*f(h/2*(1+r)+a);
 }
 t += h/2*s;
 return(t);
}
int main(int argc, char *argv[])
{
 int k;
 double a,b,t;

 a=1;b=2.0; /* Borne d'intégration [a;b] */

 printf("Méthode de Gauss-Legendre\n");

 printf("\nRang k      Valeur calculee       \n");
 for(k=0;k<=4;k++)
 {
  t=gauss_legendre(a,b,k);
  printf("%4d            %lf  \n",k,t);
 }

  return 0;
}

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