Calcul de precision entre une valeur réelle et une valeur approchée de exp(x)

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Description

ÿþA u v o i s i n a g e d  u n p o i n t d  a b s c i s s e a , l a f o r m u l e d e T a y l o r - Y o u n g p e r m e t d  a p p r o c h e r p a r u n p o l y n ô m e u n e f o n c t i o n f d é r i v a b l e n f o i s s u r u n i n t e r v a l l e [ a ; b ] e t a d m e t t a n t e n a u n e d é r i v é e d  o r d r e n + 1 . C e t t e f o r m u l e a f f i r m e e n e f f e t q u  i l e x i s t e d e s r é e l s a 0 , a 1 , a 2 , & , a n t e l s q u e , p o u r t o u t x d e ] a ; b [ : f ( x ) = a 0 + a 1 ( x - a ) + a 2 ( x - a ) ^ 2 + & + a n ( x - a ) ^ n + E ( x ) . ( x - a ) ^ n + 1 . E e s t u n e f o n c t i o n q u i t e n d v e r s 0 l o r s q u e x t e n d v e r s a , e t a n = f ^ ( n ) ( a ) / n ! p o u r t o u t n , o ù n ! ( d i t f a c t o r i e l l e n ) e s t t e l q u e 0 ! = 1 e t n ! = 1 × 2 × 3 × & × n p o u r t o u t n e" 1 . P a r e x e m p l e , s i f ( x ) = e x p ( x ) , a l o r s f ^ ( n ) ( x ) = e x p ( x ) p o u r t o u t n r é e l . C o m m e f ^ ( n ) ( 0 ) = e x p ( 0 ) = 1 , o n p e u t d o n c é c r i r e , p o u r t o u t x a u v o i s i n a g e d e 0 : e x p ( x ) ~ 1 + x / 1 ! + x ^ 2 / 2 ! + x ^ 3 / 3 ! + . . . . . . . . . + x ^ n / n ! , L a f o r m u l e d e T a y l o r - Y o u n g p e r m e t a i n s i d  é t u d i e r l o c a l e m e n t c e r t a i n e s f o n c t i o n s . M o n p r o g r a m m e c a l c u l l e n o m b r e n q u i c o r r e s p o n d à l a p u i s s a n c e d e x p o u r q u e l a v a l e u r r é e l l e e x p ( x ) e t l a v a l e u r a p p r o c h é e p a r T a y l o r s e r o n t p a r f a i t e m e n t é g a u x .

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