Resolution de polynôme de degrès n (cad de n'importe quel degrès)
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Description
Voici une source assez sympa qui permet de trouver les racines réelles d'un polynôme de degrès n ( cad de n'importe quel degrès :D ) Donc en gros ce petit algo ( à peine 30 lignes de code pour la fonction ResolvePoly() ) permet très simplement de résoudre ce genre d'équation ::
Polynôme de degrès 15 ::
7X^15-8X^14-6X^13+4X^12-4X^11-6X^10+2X^9+X^8+7X^7+2X^6-2X^5-2X^4-9X^3+9X^2+5X-2 = 0
5 racines dans l'intervalle [ -2,2 ]
Racine N°1 :: -0,978867466913167
Racine N°2 :: -0,603002164541593
Racine N°3 :: 0,293669976482321
Racine N°4 :: 0,968125129970291
Racine N°5 :: 1,63964850956609
La convergence est assez rapide et la précision dépend de la variable Epsilon qui est modifiable, par défaut Epsilon = 10 ^ -10
La méthode est simple, on décompose la courbe en segments de droite, puis on verifi pour chaque segment si il y'a intersection avec la droite Y=0, si oui, on coupe en 2 le segment de droite et on réitère l'opération, jusqu'a ce que la longueur en abscisse du segment soit <=Epsilon.
La source est commentée
Dans le zip se trouve également une feuille permettant de paramétrer très facilement le polynôme, de tracer la courbe, et d'afficher les racines sur le graphe
=> voir la capture d'écran
Ci dessous le code de la procédure ResolvePoly()
Polynôme de degrès 15 ::
7X^15-8X^14-6X^13+4X^12-4X^11-6X^10+2X^9+X^8+7X^7+2X^6-2X^5-2X^4-9X^3+9X^2+5X-2 = 0
5 racines dans l'intervalle [ -2,2 ]
Racine N°1 :: -0,978867466913167
Racine N°2 :: -0,603002164541593
Racine N°3 :: 0,293669976482321
Racine N°4 :: 0,968125129970291
Racine N°5 :: 1,63964850956609
La convergence est assez rapide et la précision dépend de la variable Epsilon qui est modifiable, par défaut Epsilon = 10 ^ -10
La méthode est simple, on décompose la courbe en segments de droite, puis on verifi pour chaque segment si il y'a intersection avec la droite Y=0, si oui, on coupe en 2 le segment de droite et on réitère l'opération, jusqu'a ce que la longueur en abscisse du segment soit <=Epsilon.
La source est commentée
Dans le zip se trouve également une feuille permettant de paramétrer très facilement le polynôme, de tracer la courbe, et d'afficher les racines sur le graphe
=> voir la capture d'écran
Ci dessous le code de la procédure ResolvePoly()
Source / Exemple :
'* -------------------------------------------------------------
'| La procédure magique :D
'|
'|Cette procédure permet de résoudre le polynôme
'|F = 0 de n'importe quel degrès tel que ::
'| i
'| F = S[ Coef(i) * X ^ i ] = 0
'| 0
'|i = nombre de coefficents , S[] représente la somme
'|
'|Coef() est le tableau regroupant tous les coefficient du
'|polynôme, Coef(0) est la constante
'|mini est la borne inférieur de l'intervalle de la recherche
'|maxi est la borne supérieur de l'intervalle de la recherche
'|Resultat() est le tableau regroupant toutes les racines
'|
'| [ X(0),Y(0) ] - [ X(1),Y(1) ] représente un bout de segment (D)
'|de la courbe (C)
'|Pas est la taille de l'intervalle de recherche divisé par 1000
'|dPas est un intervalle de recherche de plus en plus petit
'|Epsilon est la longueur minimale de l'intervalle de recherche, c'est donc la précision de l'approximation
Dim X(1), Y(1), Pas, dPas, Epsilon, I, min, max As Double
Dim K, J As Byte
ReDim Resultat(0)
min = mini
max = maxi
'|On définit Epsilon, la précision est donc de 0.00000000001
Epsilon = 10 ^ -10
'|On calcule le Pas de la recherche
Pas = (max - min) / 1000
Debut:
'|On place le point gauche du segment D sur la borne minimale de recherche
'|(Attention min<>mini, sauf au début)
X(1) = min
'|On définit Y(1) = F(X(1))
For J = 0 To UBound(Coef): Y(1) = Y(1) + Coef(J) * X(1) ^ J: Next
'|On scan la courbe sur l'intervalle
For I = min To max Step Pas
'|On définit dPas comme la moitié de Pas, on a ainsi 2 segment
dPas = Pas / 2
For K = 1 To 2
'|On positionne les points du segment D
X(0) = X(1)
X(1) = X(0) + K * dPas
Y(0) = Y(1): Y(1) = 0
'|On calcule la position Y du polynôme au point X(1)
For J = 0 To UBound(Coef): Y(1) = Y(1) + Coef(J) * X(1) ^ J: Next
'|On calcule l'interserction entre la droite passant par le
'|segment D et la droite Y=0
Resultat(n) = IIf((Y(1) / Y(0) - 1) <> 0, X(0) - (X(1) - X(0)) / (Y(1) / Y(0) - 1), mini - 1)
'|Si l'intersection se situe dans la zone de recherche dPas
'|( en effet X(1)-X(0) = dPas )
If Resultat(n) >= X(0) And Resultat(n) <= X(1) Then
'|Si dPas a atteint la valeur minimale de l'intervalle, cad
'| si la valeur de Résultat(n) est proche à Epsilon près
If dPas <= Epsilon Then
'|Le nouveau minimum de recherche se situe à
'|la nouvelle racine trouvée
min = Resultat(n)
'|On agrandit le tableau de recherche de racine
n = n + 1
ReDim Preserve Resultat(n)
'|On retourne au début et on refait un scan
'|mais dans l'intervalle [ Resultat(n),max ]
GoTo Debut
Else
'|dPas n'est pas assez précis, donc on le divise par 2 et
'|on recommence car on sait qu'il y'a une racine dans le coin
dPas = dPas / 2
X(1) = X(0): Y(1) = Y(0)
K = 1
End If
End If
Next
Next
End Sub
Codes Sources
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merci.
elmeiche.noury@caramail.com
c'est un grand travail , mais si tu ésaye de calculer les racinnes avec la méthode de NewtonRavsonne c'est encore mieux.
faite une aperçu à mon source "RÉSOLUTION D'ÉQUATION DE 3 ÉME DEGRÉ AVEC LA MÉTHODE DE NEWTON"
c'est un trés bon travail
elmeiche.noury@caramail.com
je vous remercier monsieur.
A+
Je pense que cette facon de trouver les racines vaut le coup d'etre vu, si j'ai le temps je ferais un benchmark entre les 2 fonctions!
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