Approximations de Pi: Formule et série de Gosper

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Bonjour,

Bill Gosper (Ralph William Gosper), mathématicien et informaticien américain est né en 1943.
En ce qui concerne Pi, on lui doit principalement la formule:
   Pi = sqrt(6.75)*Somme(i>=0) [i! * i! / (2*i+1)!]
et la série:
   Pi = 3 + 1/4/5/3*(8 + 2*3/7/8/3*(13 + 3*5/10/11/3*(18 + 4*7/13/14/3*(23 + ...))))

Vous trouverez de la documentation dans:
Wiki: Bill Gosper, Bill Gosper (en)
pi314: William Gosper

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi     <--- cliquez !.

Pour "vérifier" la formule, donnons d'abord un code qui emploie des factorielles précalculées: 
// Formule de Gosper: Pi = sqrt(6.75)*Somme(i>=0) [i! * i! / (2*i+1)!]
double Gosper_A(int n) { // calcul avec les factorielles
  double s = 0;
  for (int i=0; i<n; ++i) s += fact[i]*fact[i]/fact[2*i+1];
  return sqrt(6.75)*s;
}

La programmation reste très simple lorsqu'on n'utilise pas explicitement les factorielles: 
// Formule de Gosper transformée en série:
// Pi = sqrt(6.75)*[1 + 1/6 + 2/10 + 3/14 + 4/18 + ...)]
double Gosper_B(int n) { // calcul sans les factorielles
  double s = 1, t = 1;
  for (int i=1; i<n; ++i) {
    t *= (double)i/(4*i + 2);
    s += t;
  }
  return sqrt(6.75)*s;
}
Il faut 23 itérations pour atteindre la précision double.

Avec la série de Gosper, 12 itérations suffisent: 
// Série de Gosper: Pi =
// 3 + 1/4/5/3*(8 + 2*3/7/8/3*(13 + 3*5/10/11/3*(18 + 4*7/13/14/3*(23 + ...))))
double Gosper_C(int n) {
  double s = 5*(n+1) - 2;
  for (int i=n; i>0; --i) s = 5*i - 2 + s*i*(2*i - 1)/(3*i + 1)/(3*i + 2)/3;
  return s;
}


Le Zip contient le fichier Gosper.cpp qui donne l'Output suivant: 
Gosper_A: Pi = sqrt(6.75)*Somme(i>=0) [i! * i! / (2*i+1)!]
  n=  1: pi=2.59807621135332
  n=  2: pi=3.03108891324554
  n=  3: pi=3.11769145362398
  n=  4: pi=3.13624914084793
  n=  5: pi=3.14037307134214
  n=  6: pi=3.14131032827265
  n=  7: pi=3.14152661833353
  n=  8: pi=3.14157708601440
  n=  9: pi=3.14158896076284
  n= 10: pi=3.14159177320327
  n= 11: pi=3.14159244283194
  n= 12: pi=3.14159260296053
  n= 13: pi=3.14159264139140
  n= 14: pi=3.14159265064327
  n= 15: pi=3.14159265287648
  n= 16: pi=3.14159265341677
  n= 17: pi=3.14159265354775
  n= 18: pi=3.14159265357956
  n= 19: pi=3.14159265358730
  n= 20: pi=3.14159265358919
  n= 21: pi=3.14159265358964
  n= 22: pi=3.14159265358976
  n= 23: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

Gosper_B: Pi = sqrt(6.75)*[1 + 1/6 + 2/10 + 3/14 + 4/18 + ...)]
  n=  1: pi=2.59807621135332
  n=  2: pi=3.03108891324554
  n=  3: pi=3.11769145362398
  n=  4: pi=3.13624914084793
  n=  5: pi=3.14037307134214
  n=  6: pi=3.14131032827265
  n=  7: pi=3.14152661833353
  n=  8: pi=3.14157708601440
  n=  9: pi=3.14158896076284
  n= 10: pi=3.14159177320327
  n= 11: pi=3.14159244283194
  n= 12: pi=3.14159260296053
  n= 13: pi=3.14159264139140
  n= 14: pi=3.14159265064327
  n= 15: pi=3.14159265287648
  n= 16: pi=3.14159265341677
  n= 17: pi=3.14159265354775
  n= 18: pi=3.14159265357956
  n= 19: pi=3.14159265358730
  n= 20: pi=3.14159265358919
  n= 21: pi=3.14159265358964
  n= 22: pi=3.14159265358976
  n= 23: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

Gosper_C:
pi = 3 + 1/60*(8 + 2*3/7/8/3*(13 + 3*5/10/11/3*(18 + 4*7/13/14/3*(23 + ...))))
  n=  1: pi=3.13333333333333
  n=  2: pi=3.14107142857143
  n=  3: pi=3.14155844155844
  n=  4: pi=3.14159035409035
  n=  5: pi=3.14159249655573
  n=  6: pi=3.14159264274275
  n=  7: pi=3.14159265283407
  n=  8: pi=3.14159265353679
  n=  9: pi=3.14159265358606
  n= 10: pi=3.14159265358953
  n= 11: pi=3.14159265358977
  n= 12: pi=3.14159265358979
 precis: pi=3.14159265358979

 
 
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