La fonction factorielle: Fact(N) = N!

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Description

Bonjour,

Cette fonction archi-connue est souvent utilisée pour introduire les boucles ("for" ou autres) ou la notion de récursivité.
Cela correspond aux deux manières d'exprimer sa définition:
a) 0! = 1; 1! = 1; 2! = 1×2 = 2; 3! = 1×2×3 = 6; 4! = 1×2×3×4 = 24; ...
b) 0! = 1; (n+1)! = n! × (n+1).

On la voit apparaître dans divers calculs:
- Nombre de permutations: n!    (Combinatoire)
- Nombre d'arrangements: A(k,n) = n!/(n-k)!
- Combinaisons (ou coefficient binomial): C(k,n) = A(k,n)/k! = n!/(n-k)!/k!
- Formules de Taylor    (Wiki)
- Formules de Stirling    (Wiki)
- Transformation inverse de Laplace (méthode de Stehfest)    (Wiki)
- etc, etc, ...

Nous allons analyser la factorielle basée sur 4 types de nombres:
- Entiers positifs 32 bits (uint32_t)
- Entiers positifs 64 bits (uint64_t)
- Nombres en virgule flottante 32 bits (float)
- Nombres en virgule flottante 64 bits (double)
 
 

Factorielles utilisant une boucle


uint32_t FoncFact32(uint32_t N) { // N! avec N <= 12
  uint32_t x=1;
  if (N>1) for (uint32_t i=N; i>=2; --i) x*=i;
  return x;
}

uint64_t FoncFact64(uint32_t N) { // N! avec N <= 20
  uint64_t x=1;
  if (N>1) for (uint32_t i=N; i>=2; --i) x*=i;
  return x;
}

float FoncFactF(uint32_t N) { // N! avec N <= 34; précis: N <= 13
  float x=1;
  if (N>1) for (uint32_t i=N; i>=2; --i) x*=i;
  return x;
}

double FoncFactD(uint32_t N) { // N! avec N <= 170; précis: N <= 21
  double x=1;
  if (N>1) for (uint32_t i=N; i>=2; --i) x*=i;
  return x;
}

Donnons ici la partie de l'output de Main.cpp concernant ces codes:
FoncFact32:
0! = 1 = 0X00000001
1! = 1 = 0X00000001
2! = 2 = 0X00000002
3! = 6 = 0X00000006
4! = 24 = 0X00000018
5! = 120 = 0X00000078
6! = 720 = 0X000002D0
7! = 5040 = 0X000013B0
8! = 40320 = 0X00009D80
9! = 362880 = 0X00058980
10! = 3628800 = 0X00375F00
11! = 39916800 = 0X02611500
12! = 479001600 = 0X1C8CFC00
13! = 1932053504 = 0X7328CC00  ..... FAUX .....

FoncFact64:
0! = 1 = 0X0000000000000001
1! = 1 = 0X0000000000000001
2! = 2 = 0X0000000000000002
3! = 6 = 0X0000000000000006
4! = 24 = 0X0000000000000018
5! = 120 = 0X0000000000000078
6! = 720 = 0X00000000000002D0
7! = 5040 = 0X00000000000013B0
8! = 40320 = 0X0000000000009D80
9! = 362880 = 0X0000000000058980
10! = 3628800 = 0X0000000000375F00
11! = 39916800 = 0X0000000002611500
12! = 479001600 = 0X000000001C8CFC00
13! = 6227020800 = 0X000000017328CC00
14! = 87178291200 = 0X000000144C3B2800
15! = 1307674368000 = 0X0000013077775800
16! = 20922789888000 = 0X0000130777758000
17! = 355687428096000 = 0X0001437EEECD8000
18! = 6402373705728000 = 0X0016BEECCA730000
19! = 121645100408832000 = 0X01B02B9306890000
20! = 2432902008176640000 = 0X21C3677C82B40000
21! = 14197454024290336768 = 0XC5077D36B8C40000  ..... FAUX .....

FoncFactF:
0! = 1 = 0X3F800000
1! = 1 = 0X3F800000
2! = 2 = 0X40000000
3! = 6 = 0X40C00000
4! = 24 = 0X41C00000
5! = 120 = 0X42F00000
6! = 720 = 0X44340000
7! = 5040 = 0X459D8000
8! = 40320 = 0X471D8000
9! = 362880 = 0X48B13000
10! = 3628800 = 0X4A5D7C00
11! = 39916800 = 0X4C184540
12! = 479001600 = 0X4DE467E0
13! = 6227020800 = 0X4FB99466
14! = 87178289152 = 0X51A261D9
15! = 1307674279936 = 0X53983BBB
16! = 2.092278847898e+013 = 0X55983BBB
17! = 3.556874146284e+014 = 0X57A1BF77
18! = 6.40237406729e+015 = 0X59B5F767
19! = 1.216450960042e+017 = 0X5BD815C9
20! = 2.432902298042e+018 = 0X5E070D9F
21! = 5.109094523522e+019 = 0X603141E0
22! = 1.124000724806e+021 = 0X6273BA93
23! = 2.585201744459e+022 = 0X64AF2E1A
24! = 6.204483105839e+023 = 0X67036292
25! = 1.551120992632e+025 = 0X694D4A06
26! = 4.032915733766e+026 = 0X6BA6CC28
27! = 1.088886923454e+028 = 0X6E0CBC3F
28! = 3.048883905132e+029 = 0X70764971
29! = 8.841760661468e+030 = 0X72DF328A
30! = 2.652529093045e+032 = 0X75513F66
31! = 8.222838447587e+033 = 0X77CAB568
32! = 2.631308303228e+035 = 0X7A4AB568
33! = 8.683317876021e+036 = 0X7CD10B14
34! = 2.952328838438e+038 = 0X7F5E1BC9
35! = 1.#INF = 0X7F800000  ..... FAUX .....

FoncFactD:
0! = 1 = 0X3FF0000000000000
1! = 1 = 0X3FF0000000000000
2! = 2 = 0X4000000000000000
3! = 6 = 0X4018000000000000
4! = 24 = 0X4038000000000000
5! = 120 = 0X405E000000000000
6! = 720 = 0X4086800000000000
7! = 5040 = 0X40B3B00000000000
8! = 40320 = 0X40E3B00000000000
9! = 362880 = 0X4116260000000000
10! = 3628800 = 0X414BAF8000000000
11! = 39916800 = 0X418308A800000000
12! = 479001600 = 0X41BC8CFC00000000
13! = 6227020800 = 0X41F7328CC0000000
14! = 87178291200 = 0X42344C3B28000000
15! = 1307674368000 = 0X4273077775800000
16! = 20922789888000 = 0X42B3077775800000
17! = 355687428096000 = 0X42F437EEECD80000
18! = 6402373705728000 = 0X4336BEECCA730000
19! = 121645100408832000 = 0X437B02B930689000
20! = 2432902008176640000 = 0X43C0E1B3BE415A00
21! = 51090942171709440000 = 0X4406283BE9B5C620
22! = 1124000727777607700000 = 0X444E77526159F06C
23! = 25852016738884978000000 = 0X4495E5C335F8A4CE
24! = 620448401733239410000000 = 0X44E06C52687A7B9A
25! = 1.5511210043330984e+025 = 0X4529A940C33F6120
26! = 4.0329146112660572e+026 = 0X4574D9849EA37EEC
27! = 1.0888869450418352e+028 = 0X45C19787E5D9F316
28! = 3.048883446117138e+029 = 0X460EC92DD23D6965
29! = 8.8417619937397008e+030 = 0X465BE6518687A784
30! = 2.652528598121911e+032 = 0X46AA27EC6E1F2D0E
31! = 8.2228386541779236e+033 = 0X46F956AD0AAE33A5
32! = 2.6313083693369355e+035 = 0X474956AD0AAE33A5
33! = 8.6833176188118895e+036 = 0X479A21627303A544
34! = 2.9523279903960408e+038 = 0X47EBC3789A33DF94
35! = 1.0333147966386144e+040 = 0X483E5DCBE8A8BC8B
36! = 3.7199332678990133e+041 = 0X489114C2B2DEEA10
37! = 1.3763753091226346e+043 = 0X48E3C0011ED1BEA1
38! = 5.2302261746660104e+044 = 0X493774015499125E
39! = 2.0397882081197447e+046 = 0X498C95619F1A8E65
40! = 8.1591528324789801e+047 = 0X49E1DD5D03709900
41! = 3.3452526613163798e+049 = 0X4A36E39F2C684404
42! = 1.4050061177528801e+051 = 0X4A8E0AC0EA48D949
43! = 6.0415263063373845e+052 = 0X4AE42F399D68F1FD
44! = 2.6582715747884495e+054 = 0X4B3BC0EF38704CBD
45! = 1.1962222086548021e+056 = 0X4B9383A833AEF5F4
46! = 5.5026221598120892e+057 = 0X4BEC0D41CA4B818E
47! = 2.5862324151116827e+059 = 0X4C4499BC508F7326
48! = 1.2413915592536068e+061 = 0X4C9EE69A78D72CB3
49! = 6.0828186403426789e+062 = 0X4CF7A88E4484BE3F
50! = 3.0414093201713376e+064 = 0X4D527BAF2587B49E
51! = 1.5511187532873816e+066 = 0X4DAD751F23D047D9
52! = 8.0658175170943901e+067 = 0X4E07EF294D193A65
53! = 4.274883284060024e+069 = 0X4E63D20E33D8E458
54! = 2.3084369733924128e+071 = 0X4EC0B93BFBBF00AA
55! = 1.2696403353658264e+073 = 0X4F1CBE5F18B04920
56! = 7.1099858780486318e+074 = 0X4F792693359A4000
57! = 4.0526919504877227e+076 = 0X4FD6665B1BBD6104
58! = 2.3505613312828789e+078 = 0X50344CC291239FEB
59! = 1.3868311854568981e+080 = 0X5092B6C35DCCD76B
60! = 8.3209871127413899e+081 = 0X50F18B5727F009F5
61! = 5.0758021387722462e+083 = 0X5150B8CF1210C97C
62! = 3.1469973260387939e+085 = 0X51B0330899804332
63! = 1.9826083154044396e+087 = 0X520FE478EE348448
64! = 1.2688693218588414e+089 = 0X526FE478EE348448
65! = 8.2476505920824715e+090 = 0X52D0320568F6AB2E
66! = 5.4434493907744319e+092 = 0X5330B395943E6088
67! = 3.6471110918188705e+094 = 0X53917C0097314D10
68! = 2.4800355424368301e+096 = 0X53F293C0A0A461DD
69! = 1.7112245242814127e+098 = 0X5454074BAD313982
70! = 1.1978571669969892e+100 = 0X54B5E7FAC56DD6E8
71! = 8.5047858856786242e+101 = 0X55184D5A3305DA6A
72! = 6.1234458376886116e+103 = 0X557B5705796695BA
73! = 4.4701154615126859e+105 = 0X55DF2F423E7902C7
74! = 3.3078854415193869e+107 = 0X564207524C1DF59A
75! = 2.4809140811395404e+109 = 0X56A5209471331BD1
76! = 1.8854947016660506e+111 = 0X570916B0466CB108
77! = 1.4518309202828591e+113 = 0X576E2F4C14BAC4FE
78! = 1.1324281178206295e+115 = 0X57D264D25CA1D008
79! = 8.9461821307829799e+116 = 0X5836B473AA57BCCF
80! = 7.1569457046263797e+118 = 0X589C619094EDABFE
81! = 5.797126020747369e+120 = 0X5901F5BD7E3E66D8
82! = 4.7536433370128435e+122 = 0X596702DAC9BFF3C6
83! = 3.9455239697206602e+124 = 0X59CDD7B3BDA4F025
84! = 3.3142401345653538e+126 = 0X5A33958DF4743D97
85! = 2.8171041143805494e+128 = 0X5A9A02A088AA61C9
86! = 2.4227095383672744e+130 = 0X5B0179C3DBD279B7
87! = 2.1077572983795269e+132 = 0X5B67C1863ED21D6F
88! = 1.854826422573984e+134 = 0X5BD0550C4B30743D
89! = 1.6507955160908465e+136 = 0X5C36B645188F61A8
90! = 1.4857159644817605e+138 = 0X5C9FF0512A89A14C
91! = 1.3520015276784033e+140 = 0X5D06B4D9B43DD8B2
92! = 1.2438414054641305e+142 = 0X5D7051FC798C73BE
93! = 1.156772507081641e+144 = 0X5DD7B722E0A0182E
94! = 1.0873661566567426e+146 = 0X5E416A7D9CF591C2
95! = 1.0329978488239061e+148 = 0X5EA9DA1274FC8460
96! = 9.916779348709491e+149 = 0X5F13638DD7BD6344
97! = 9.6192759682482155e+151 = 0X5F7D62E2FAFB0A7B
98! = 9.426890448883248e+153 = 0X5FE67FB5C8283404
99! = 9.3326215443944153e+155 = 0X605166C698CF183B
100! = 9.3326215443944175e+157 = 0X60BB30964EC395DE
101! = 9.4259477598383599e+159 = 0X612574569A265440
102! = 9.6144667150351251e+161 = 0X619118B502D68B22
103! = 9.9029007164861779e+163 = 0X61FB83C3509147EA
104! = 1.0299016745145631e+166 = 0X62665B0EB1760A72
105! = 1.0813967582402912e+168 = 0X62D256B20D92D491
106! = 1.1462805637347086e+170 = 0X633E5F96E67B3010
107! = 1.2265202031961373e+172 = 0X63A963E824AAFA28
108! = 1.324641819451829e+174 = 0X64156C4BDEF04315
109! = 1.4438595832024942e+176 = 0X64823E389BD89922
110! = 1.5882455415227423e+178 = 0X64EF5AF14BDC472B
111! = 1.7629525510902457e+180 = 0X655B30DD3FC905BF
112! = 1.9745068572210749e+182 = 0X65C7CAC197CFE506
113! = 2.2311927486598138e+184 = 0X663500FEE805882D
114! = 2.5435597334721862e+186 = 0X66A2B4E306A4ED45
115! = 2.9250936934930141e+188 = 0X6710CE83F7F82D2C
116! = 3.3931086844518989e+190 = 0X677E764F3171D1E6
117! = 3.96993716080872e+192 = 0X67EBD824633209D9
118! = 4.6845258497542896e+194 = 0X6859AB418B722114
119! = 5.5745857612076058e+196 = 0X68C7DD36EFA41AC2
120! = 6.6895029134491346e+198 = 0X69365F6380A9D91D
121! = 8.0942985252734441e+200 = 0X69A5262C0FA08F37
122! = 9.8750442008336011e+202 = 0X6A142861FEE50880
123! = 1.2146304367025332e+205 = 0X6A835ECE2AF0162C
124! = 1.5061417415111409e+207 = 0X6AF2C3D7B998957A
125! = 1.8826771768889261e+209 = 0X6B625340AB3F01F9
126! = 2.3721732428800483e+211 = 0X6BD209F3A89205F4
127! = 3.0126600184576624e+213 = 0X6C41E5DFC140E1EA
128! = 3.8562048236258079e+215 = 0X6CB1E5DFC140E1EA
129! = 4.9745042224772875e+217 = 0X6D2209AB80C363A9
130! = 6.4668554892204729e+219 = 0X6D9251D22EC67137
131! = 8.4715806908788126e+221 = 0X6E02BFBD1BDF17DA
132! = 1.1182486511960037e+224 = 0X6E7355BB04BE109B
133! = 1.4872707060906847e+226 = 0X6EE4171452ED7D40
134! = 1.9929427461615201e+228 = 0X6F55082946D09F27
135! = 2.6904727073180491e+230 = 0X6FC62E9B88B007D4
136! = 3.6590428819525483e+232 = 0X70379185413B0854
137! = 5.0128887482749884e+234 = 0X70A939C09FD12EE6
138! = 6.9177864726194823e+236 = 0X711B3243AC4D868E
139! = 9.6157231969410894e+238 = 0X718D88957D1C3026
140! = 1.3462012475717523e+241 = 0X720026B1C06B6A54
141! = 1.8981437590761713e+243 = 0X7271CA9FCDF65322
142! = 2.6953641378881633e+245 = 0X72E3BCC9487D443A
143! = 3.8543707171800694e+247 = 0X73560CE8DEFBF232
144! = 5.5502938327393076e+249 = 0X73C8CE85FADB7082
145! = 8.0479260574719887e+251 = 0X743C19F3C62C956C
146! = 1.1749972043909107e+254 = 0X74B006CD07056D39
147! = 1.7272458904546399e+256 = 0X752267CF76103B73
148! = 2.5563239178728637e+258 = 0X75954807E082C4B5
149! = 3.8089226376305687e+260 = 0X7608C5D92B5838FE
150! = 5.7133839564458575e+262 = 0X767D07DA7ECB62D0
151! = 8.6272097742332436e+264 = 0X76F11FA1E0C9F748
152! = 1.3113358856834527e+267 = 0X776455903AEFD5A4
153! = 2.0063439050956838e+269 = 0X77D84E466672AD62
154! = 3.0897696138473515e+271 = 0X784D3E2CB341F896
155! = 4.7891429014633931e+273 = 0X78C1B4A51088F181
156! = 7.4710629262828918e+275 = 0X793594292C26E654
157! = 1.1729568794264134e+278 = 0X79AA77BA8027B67F
158! = 1.8532718694937346e+280 = 0X7A2055E51B1882A6
159! = 2.9467022724950358e+282 = 0X7A944AB297A87246
160! = 4.7147236359920609e+284 = 0X7B095D5F3D928EDD
161! = 7.5907050539472232e+286 = 0X7B7FE771CB7257B8
162! = 1.2296942187394494e+289 = 0X7BF4307602BE5B7F
163! = 2.0044015765453032e+291 = 0X7C69B5B6477E6886
164! = 3.2872185855342987e+293 = 0X7CE07868C5CCFAF8
165! = 5.4239106661315832e+295 = 0X7D553B370EFA3B79
166! = 9.0036917057784341e+297 = 0X7DCB88CB676C8526
167! = 1.5036165148649983e+300 = 0X7E41F63CB077CADB
168! = 2.5260757449731988e+302 = 0X7EB7932FA79D3A44
169! = 4.2690680090047056e+304 = 0X7F2F2054EB4D96ED
170! = 7.257415615308004e+306 = 0X7FA4AB786441863D
171! = 1.#INF = 0X7FF0000000000000  ..... FAUX .....

 
 

Factorielles calculées récursivement


uint32_t RecFact32(uint32_t N) {return (N<=1)?1:N*RecFact32(N-1);}

uint64_t RecFact64(uint32_t N) {return (N<=1)?1:N*RecFact64(N-1);}

float RecFactF(uint32_t N) {return (N<=1)?1:N*RecFactF(N-1);}

double RecFactD(uint32_t N) {return (N<=1)?1:N*RecFactD(N-1);}

Les résultats et limitations correspondent aux quatre codes traités plus haut.
Le temps de calcul est peut-être très légèrement plus grand.
Comme il est impossible de dépasser N = 170, l'utilisation de la mémoire (stack) reste raisonnable.
 
 

Factorielles précalculées


Une troisième manière, souvent oubliée par les plus grands auteurs, est de calculer à l'avance un array qui contient les factorielles utilisées:
  uint32_t fact32[13]={1,1};
  for (uint32_t N=2; N<=12; ++N) fact32[N]=N*fact32[N-1];

  uint64_t fact64[21]={1,1};
  for (uint32_t N=2; N<=20; ++N) fact64[N]=N*fact64[N-1];

  float factF[35]={1,1};
  for (uint32_t N=2; N<=34; ++N) factF[N]=N*factF[N-1];

  double factD[171]={1,1};
  for (uint32_t N=2; N<=170; ++N) factD[N]=N*factD[N-1];

Le petit test de comparaison fait à la fin dans Main.cpp montre clairement qu'il est fortement recommandé d'utiliser ce procédé, surtout lorsque le temps de calcul est important.
   Fonction: somme = 5.62183143603746e+196, temps = 8752 ms
   Array: somme = 5.62183143603746e+196, temps = 78 ms 
  
 

Limites


En observant les résultats obtenus par Main.cpp, on peut indiquer les limites d'utilisation suivantes:

- Entier positif 32 bits: 0! à 12!
- Entier positif 64 bits: 0! à 20!
- Nombres en virgule flottante 32 bits (float): 0! à 34! (### 13! = 6227020800)
- Nombres en virgule flottante 64 bits (double): 0! à 170! (### 21! = 51090942171709440000)

###: Au dessus de ce nombre, les résultats ne sont plus "mathématiquement" précis car la mantisse du format utilisé est "trop petite".
Par contre, au sens "virgule flottante", ces valeurs sont bonnes et "précises".
 
 
   Bonne lecture.

Codes Sources

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Bonjour tous,
Je note que cet envoi a déjà suscité plusieurs méthodes pour calculer n! : une liste de valeurs pré-calculées, le calcul traditionnel avec les entiers internes ou bien avec les flotants internes de l'ordinateur, le calcul traditionnel avec la bibliothèque GMP, le calcul avec GMP et la dichotomie des opérandes, le calcul avec log10() et le calcul avec la multiplication comme manuellement (après correction du bug, si on veut aller jusqu'à n = 200 000 il suffit de faire nc = 486 676). Toutes ces diverses méthodes ont des propriétés différentes : résultat exact ou approximatif, limite maximum différente de l'entier pour lequel on veut son factoriel et divers temps de calcul. Merci à William Voirol pour avoir proposé ce sujet et merci aussi à tout visiteur qui souhaite proposer un nouveau complément amusant ou instructif. Ce sujet se révèle, en fait, très intéressant.
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Bonjour,

L'étape d'après c'est de passer au calcul partagé (avec MPI par exemple), c'est d'ailleurs très facile avec un algorithme par dichotomie.

On ordinateur récupère un message pour calculer le produit de p à n, il transmet à un de ses ordinateurs voisins la première moitié du calcul à effectuer, et un deuxième voisin la deuxième moitié. Une fois les réponses reçues de ses deux voisins, l'ordinateur fait le produit et envoie le résultat.

Ça coûte un peu plus cher en nombre de calculs (puisqu'il faut gérer le transfert de messages) mais comme le calcul est découpé sur plusieurs ordinateurs (ou plusieurs processeurs d'un même ordinateur) le temps de calcul sera réduit, et les ressources machines totalement utilisées : il vaut mieux utiliser 10 machines à 100% pendant 1 minute, que 1 machine à 10% pendant 100 minutes... sauf si vous n'êtes pas pressé bien sûr ;-)
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Il y a plus de 30 ans, un ingénieur a développé (en Fortran) un programme qui prenait malheureusement beaucoup de temps calcul (payant, en ce temps là).
Pour y remédier, il a demandé de l'aide à une grande école.
Les "spécialistes de l'optimisation" ont alors réussi à améliorer son code et diviser le temps d'exécution par deux !
A juste titre, ils ont été vivement félicités.

Par hasard, un autre collaborateur (non spécialiste) avait remarqué que le programme faisait de fréquents appels à la fonction factorielle et a proposé de les remplacer par un simple accès à un tableau contenant les valeurs pré calculées.
Et le temps de calcul a été divisé par 50 !

Ce collaborateur a été chaleureusement remercié par l'ingénieur, mais personne n'a osé le féliciter !
La solution est tellement banale, "connue" et "peu élégante" que ça ne vaut même pas la peine d'en parler !

Le "dédain" envers cette "solution" semble se poursuivre encore aujourd'hui: les articles ou codes qui la mentionnent ou l'utilisent sont très rares.
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Le "dédain" envers cette "solution" semble se poursuivre encore aujourd'hui: les articles ou codes qui la mentionnent ou l'utilisent sont très rares.
Possible, cependant il vaudrait mieux avoir un fichier ou une base de données pour faire cela, mettre ça en dur dans le code augmente inutilement le poids de l'exécutable, de plus cela va créer des variables supplémentaires qui vont devoir être intégralement chargées en mémoire alors qu'elles ne seront pas forcément toutes utilisées au cours du programme... il faut utiliser cela raisonnablement.
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Un grand merci pour les commentaires ci-dessus.

L'extension du calcul de la factorielle à des "types de nombres" plus étendus tels que a×10^b ou GMP, est très intéressante.

C'est principalement la manière de grouper différemment les multiplications qui a attiré mon attention, car elle permet de bien diminuer la "profondeur" des appels récursifs.

Petite question sur un "détail". A la place de:
if (p==n) return p;
else {
Integer a=(p+n)/2;
return produit(p,a)*produit(a+1,n);
}
ne vaut-il pas mieux écrire:
if (p==n) return p;
Integer a=(p+n)/2;
return produit(p,a)*produit(a+1,n);
?
Il est vrai que sur internet, particulièrement dans le domaine dont il est question ici, c'est surtout la première méthode qui est utilisée !
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