Elements de réduction d'un tenseur de contraintes

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Description


Derrière ce truc peu bandant se cache un outil qui peut intéresser les ingénieurs
Mécaniciens spécialistes de la Mécanique des Fluides et/ou de la Mécanique des
milieux continus en général.

Le tenseur des contraintes étant représenté par une matrice symétrique, seuls
6 paramètres indépendants sont à rentrer: ceux de la diagonale, et les 3 autres
suivant la notation du tenseur déroulé.

En retour, ce script fournit les 3 contraintes principales, et, cerise sur le
gâteau, les 3 vecteurs unitaires propres associés.

En espérant que cet outil puisse servir au moins à une personne autre que moi.

Bien à vous, 

<head><title>Calcul des éléments de réduction d'un tenseur de contraintes</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">
<script type=text/javascript>

function deter(M) {
return M[0]*(M[4]*M[8]-M[7]*M[5])-M[1]*(M[3]*M[8]-M[5]*M[6])+M[2]*(M[3]*M[7]-M[4]*M[6]);
}

function notinv(A,Eps) {
var M=new Array();

M[0]=A[0]; M[1]=A[5]; M[2]=A[4]; M[4]=A[1]; M[5]=A[3]; M[8]=A[2]; M[3]=M[1]; M[6]=M[2]; M[7]=M[5];

return (Math.abs(deter(M))<Eps) 
}

function vecp(M,Mu,Eps) {
var delta,S;
var U=new Array();
var W=new Array();
var A1,A2,A3,A4,B1,B2;

M[0] -= Mu; M[1] -= Mu; M[2] -= Mu;

if (!notinv(M,Eps)) { alert('Ca ne va pas!!'); return; }

A1= M[5]*M[5]+M[1]*M[1]+M[3]*M[3];
A2= M[5]*M[4]+M[1]*M[3]+M[3]*M[2];
A3= A2;
A4= M[4]*M[4]+M[3]*M[3]+M[2]*M[2];

B1= M[5]*M[0]+M[1]*M[5]+M[3]*M[4];
B2= M[4]*M[0]+M[3]*M[5]+M[2]*M[4];

if (Math.abs(delta=A1*A4-A2*A3) > Eps) {
W[0] = 1;
W[1]= (A2*B2 - B1*A4 ) / delta;
W[2]= (A3*B1 - B2*A1) / delta;
} 
else { 
A1= M[0]*M[0]+M[5]*M[5]+M[4]*M[4];
A2= M[0]*M[4]+M[5]*M[3]+M[4]*M[2];
A3 = A2;
A4= M[4]*M[4]+M[3]*M[3]+M[2]*M[2];

B1= M[0]*M[5]+M[5]*M[1]+M[4]*M[3];
B2= M[4]*M[5]+M[3]*M[1]+M[2]*M[3];

if (Math.abs(delta=A1*A4-A2*A3) > Eps) {
W[0] = (A2*B2 - B1*A4) / delta;
W[1]= 1;
W[2]= (A3*B1 - B2*A1) / delta;
}  else { 
A1= M[0]*M[0]+M[5]*M[5]+M[4]*M[4];
A2= M[0]*M[5]+M[5]*M[1]+M[4]*M[3];
A3 = A2;
A4= M[5]*M[5]+M[1]*M[1]+M[3]*M[3];

B1= M[0]*M[4]+M[5]*M[3]+M[4]*M[2];
B2= M[5]*M[4]+M[1]*M[3]+M[3]*M[2];

if (Math.abs(delta=A1*A4-A2*A3) > Eps) {
W[0] = (A2*B2 - B1*A4) / delta;
W[1]= (A3*B1 - B2*A1) / delta;
W[2]= 1;
  } else alert( "Matrice nulle?\n") 
 } 
}
S=Math.sqrt(W[0]*W[0]+W[1]*W[1]+W[2]*W[2]);
U[0]=W[0]/S;
U[1]=W[1]/S;
U[2]=W[2]/S;

M[0] += Mu; M[1] += Mu; M[2] += Mu;

return U
}

function traite() {
var x1,x2,x3;

var B4= f.s11.value;
var C5= f.s22.value;
var D6= f.s33.value;
var D5= f.s23.value;
var D4= f.s13.value;
var C4= f.s12.value;

var Vm= Math.sqrt((B4-C5)*(B4-C5)+(C5-D6)*(C5-D6)+(D6-B4)*(D6-B4)+6*(C4*C4+D4*D4+D5*D5))/Math.sqrt(2);

var X3= -1;
var X2= B4*1+C5*1+D6*1;
var X1= D4*D4+D5*D5+C4*C4-B4*C5-B4*D6-C5*D6;
var X0= 2*D4*C4*D5-D4*D4*C5-D5*D5*B4-C4*C4*D6+B4*C5*D6;

var C43= X2/X3;
var C44= X1/X3;
var C45 = X0/X3;

var C47= C44-C43*C43/3;
var F47= C45-C44*C43/3+2*C43*C43*C43/27; 
var C49= 4*C47*C47*C47/27+F47*F47;
// if (C49<0) E49= -1; else if (C49>0) E49=1; else E49=0;

var C60= Math.acos(3*F47/2/C47*Math.sqrt(-3/C47))/3;

if (C49<0) { // Il y a 3 solutions réelles

x1= Math.sqrt(-4*C47/3)*Math.cos(C60)-C43/3;
x2= Math.sqrt(-4*C47/3)*Math.cos(C60+2*Math.PI/3)-C43/3;
x3= Math.sqrt(-4*C47/3)*Math.cos(C60+4*Math.PI/3)-C43/3;
}

else if (C49>0) { // Il n'y a qu'une seule solution réelle

var B53= (Math.sqrt(C49)-F47)/2;
var B54= -(F47+Math.sqrt(C49))/2;

x1= Math.exp(Math.log(Math.abs(B53))/3)*signe(B53)+Math.exp(Math.log(Math.abs(B54))/3)*signe(B54)-C43/3;
x2= '';
x3= '';
}

else { // Il y a 2 solutions réelles
x1= Math.exp(Math.log(Math.abs(F47/2))/3)*signe(-F47)*2-C43/3;
x2= -Math.exp(Math.log(Math.abs(F47/2))/3)*signe(-F47)-C43/3;
x3= '';
}

document.getElementById("vm").innerHTML = Math.round(Vm*1000)/1000;
document.getElementById("vap1").innerHTML = x1!=''? Math.round(x1*100000)/100000 : 'Pas de solution';
document.getElementById("vap2").innerHTML = x2!=''? Math.round(x2*100000)/100000 : 'Pas de solution';
document.getElementById("vap3").innerHTML = x3!=''? Math.round(x3*100000)/100000 : 'Pas de solution';

var A=new Array(B4,C5,D6,D5,D4,C4);
U= vecp(A,x1,1e-5);

document.getElementById("vep1").innerHTML = Math.round(U[0]*100000)/100000;
document.getElementById("vep2").innerHTML = Math.round(U[1]*100000)/100000;
document.getElementById("vep3").innerHTML = Math.round(U[2]*100000)/100000;

var A=new Array(B4,C5,D6,D5,D4,C4);
V= vecp(A,x2,1e-5);

document.getElementById("vep4").innerHTML = Math.round(V[0]*100000)/100000;
document.getElementById("vep5").innerHTML = Math.round(V[1]*100000)/100000;
document.getElementById("vep6").innerHTML = Math.round(V[2]*100000)/100000;

var A=new Array(B4,C5,D6,D5,D4,C4);
W= vecp(A,x3,1e-5);

document.getElementById("vep7").innerHTML = Math.round(W[0]*100000)/100000;
document.getElementById("vep8").innerHTML = Math.round(W[1]*100000)/100000;
document.getElementById("vep9").innerHTML = Math.round(W[2]*100000)/100000;

return false;
}

function verifvap(A,L) { // Vérifie si L est bien une valeur propre de A. Ne sert pas.

A[0]-= L; A[1]-= L; A[2] -= L;

return notinv(A,1e-5);
}

function signe(x) {
return x>0? 1 : x<0? -1 : 0;
}

</script></head>

<body><br><br><form onsubmit="return traite()" name=f>
<center><table border=0>
<tr><td>Sigma 1.1 <td><input name=s11 value=-1021>
<tr><td>Sigma 2.2 <td><input name=s22 value=8.275>
<tr><td>Sigma 3.3 <td><input name=s33 value=1383.4>
<tr><td>Sigma 2.3 <td><input name=s23 value=0.65566>
<tr><td>Sigma 1.3 <td><input name=s13 value=4.8896>
<tr><td>Sigma 1.2 <td><input name=s12 value=27.672>
<tr><td colspan=2 align=middle><br><input type=submit>
</table>
<br><table border=1 width=70%>
<tr><td colspan=3>Max Stress Von-Misès: <td colspan=4><div id=vm></div>
<tr><td colspan=1>Contraintes principales<td colspan=6>Vecteurs propres
<tr><td>Max principal 1: <td><div id=vap1></div> <td>(<td><div id=vep1></div><td><div id=vep2></div><td><div id=vep3></div><td>)
<tr><td>Max principal 2: <td><div id=vap2></div> <td>(<td><div id=vep4></div><td><div id=vep5></div><td><div id=vep6></div><td>)
<tr><td>Max principal 3: <td><div id=vap3></div> <td>(<td><div id=vep7></div><td><div id=vep8></div><td><div id=vep9></div><td>)
</table></center></body>
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