Regression lineaire d'une droite de l'espaceRésolu

Question

Bonjour a tous et a toute,

S'il y a de la doc sur ce forum sur la regression lineaire dans le plan, en revanche il n'y a rien (ou alors j'ai mal cherche) au sujet d'une telle operation dans l'espace.
En 2D, ca ne me pose pas de soucis. Je pensais que ca n'allait pas etre beaucoup plus complexe en 3D... Que nenni !
C'est beaucoup plus fastidieux de definir une droite de l'espace : c'est l'intersection de deux plans...

Alors mon probleme est le suivant :
Je dispose d'une serie de n points de d'espace. Je connais leurs coordonnees x, y et z.
Je cherche a determiner la meilleure droite de l'espace passant par ces points par la methode des moindres carres.
Et je n'arrive pas a etablir des equations d'observation lineaires. Peut-etre est-ce impossible et qu'il faut necessairement se taper un systeme non-lineaire ?
C'est pas que ca m'effraie, c'est juste que c'est fastidueux... (pour ne pas employer d'autre adjectif)

Mon probleme est purement mathematique. Le programmer sur VB ne devrait pas me poser de problemes... Enfin, pour l'instant 

Merci d'avance...
Tom

Marin Marais

marinmarais · Accepted Answer

Chose promise chose due.


Voila la demonstration aboutissant aux equations d'observations en vue d'un ajustement par la méthode des moindres carrés :


Soit (D) la droite de regression de ma serie de n points Mi(xi,yi,zi), i allant de 1 à n.


Soit A(xa,ya,za) un point de (D) et N un vecteur directeur de (D). Les coordonnées de N sont nx, ny et nz.


Quel que soit i allant de 1 a n, Mi appartient à (D) si et seulement s'il existe un réel k tel que AM = k.N


Autrement dit, j'ai le systeme suivant :


> xi - xa = k.nx


> yi - ya = k.ny


> zi - za = k.nz


On a donc : k = (xi - xa) / nx


On va substituer cette valeur de k dans les deux autres équations. On obtient :


> nx.(yi-ya)=ny.(xi-xa)


> nx.(zi-za)=nz.(xi-xa) 


Notre équation de droite est la solution de ce système de 2 équations... une droite de l'espace est l'intersection de deux plans...


Les paramètres à déterminer sont, je le rappelle, xa, ya et za ainsi que nx, ny et nz.


De ce fait, on voit que ce système n'est pas linéaire. Pour ce faire on va bidouiller un peu...


En fait, je vais fixer deux paramètres afin de n'avoir qu'un seul point A et un seul vecteur N possibles.


Je fixe xa 0 et nx 1.


Mon système est presque toujours vrai. 


La droite (D) possède - sauf cas très particulier où (D) est inclue dans un plan parallèle mais distinc du plan (O,y,z) - un point d'abscisse 


nulle et un vecteur directeur d'abscisse égal à 1.


Alors j'obtiens le système suivant, avec les observations d'un côté et les paramètres de l'autre :


> yi = ny.xi + ya


> zi = nz.xi + za


Ayant n points Mi, j'ai donc 2n équations s'écrivant sous la forme : B = A x X


Voila... Il n'y a plus qu'à lancer la moulinette.


A+,


Tom.










Marin Marais

marinmarais · Answer

Salut a tous et a toutes,

La nuit porte conseil dit-on. Il semble que ce soit vrai.
J'ai trouve une astuce de maniere a obtenir un systeme d'equation simple et lineaire parfait pour un ajustement par la methode des moindres carres...
Je poste ca d'ici demain... Ca peut servir a quelqu'un... Sait-on jamais...

A+,
Tom.

Marin Marais

Regression lineaire d'une droite de l'espace

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