Résolution d'un système d'équations linéaires à n inconnues

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Description

Voici une application non graphique de calcul matriciel qui utilise l'objet MatWV contenu dans le fichier 'MatWV.js'. (voir l'article "Vecteurs et matrices: outils graphiques utiles")

Le programme permet de:
- Choisir N (pratiquement de 1 à 100).
- Résoudre un système d'équations linéaires (1er degré);
le temps de calcul est alors indiqué.
- Commuter le système: V = M*X ==> X = Inv(M)*V
- Importer et exporter les valeurs à l'aide de presse-papier.
- Remplir la matrice de valeurs aléatoires.

Les méthodes pour le presse-papier se trouvent dans le fichier 'MatWV-Cb.js' qui augmente l'objet MatWV. Dans 'Str' les valeurs sont arrondies pour 'faciliter la visibilité', mais vous pouvez les enlever ou les ajouter à d'autres places.

Utilisez le petit exemple 'Mat44.txt' à l'aide du presse-papier.

J'ai placé ce code (qui ne contient pas de <form>) dans la catégorie Formulaire car le programme est présenté sous la forme d'un "formulaire" de taille dynamique.
A partir de N=50, la gestion de l'affichage commence à traîner. Si vous désirez faire des tests avec des matrices plus grandes, consultez l'article cité ci-dessus.

Petite histoire
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Vers les années 1950, un de mes profs (avec deux de ses collègues) a été chargé par l'industrie de résoudre un système de 50 équations à 50 inconnues (basé sur une matrice symétrique définie positive).
A trois, et à la règle à calcul, ils ont mis trois semaines pour le faire (avec une précision de 2 à 4 chiffres significatifs) !

En 1974-1975, à l'EPFL de Lausanne, il y avait le "super ordinateur" Cyber de CDC (voir http://en.wikipedia.org/wiki/CDC_Cyber), qui occupait toute une maison climatisée. Il était 'entretenu' par plus de 20 personnes spécialisées et valait de 10 à 20 millions de francs (SFR de l'époque).
Sur cet ordi, à l'aide de la routine 'IMGC' écrite en 'Fortran', il fallait quelques dixièmes de seconde pour inverser une matrice quelconque 50?50, et avec une précision nettement meilleure !
Mon voisin, à qui j'avais essayé d'expliquer cela, m'a toujours pris pour un blagueur.

Et certains 'rêveurs' osaient même prédire que dans quelques années, chacun pourrait avoir l'équivalent d'une "Cyber-CDC" sur son bureau !

Aujourd'hui (sept 2011), malgré les performances médiocres de Javascript, mon petit portable de 10" (environ 160 ?) met 12 à 18 ms pour faire l'inversion d'une matrice de 50?50 !

Source / Exemple : 


<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <title>Résolution d'un système d'équations de taille quelconque</title>
  <meta name='Author' content='William VOIROL, Switzerland, Sep 2011'/>
  <style type='text/css'>
    .inp {text-align:center; width:72px;}
    .res {text-align:center; width:72px; background-color:#7F7}
  </style>
  <script type='text/javascript' src='MatWV.js'></script>
  <script type='text/javascript' src='MatWV-Cb.js'></script>
  <script type="text/javascript">
  //<![CDATA[
    var N=3;
    function M2I(m) { // Copie la matrice m dans le tableau input M
      for (var l=0,k=0;l<m.nL;l++)
        for (var c=0;c<m.nC;c++) document.getElementById('M'+l+'_'+c).value=m.M[k++];
    }
    function I2M() { // Crée une matrice correspondant au tableau input M
      var m=new MatWV(N,N);
      for (var l=0,k=0;l<N;l++)
        for (var c=0;c<N;c++) m.M[k++]=document.getElementById('M'+l+'_'+c).value;
      return m;
    }
    function V2I(m,v) { // Copie la matrice m dans le tableau input v = 'V' ou 'X'
      for (var l=0;l<m.nL;l++) document.getElementById(v+l).value=Math.round(m.M[l]*1E13)/1E13;
    } // enlevez l'arrondi pour des résultats plus précis: Math.round(x*1E13)/1E13
    function I2V(v) { // Crée une matrice correspondant au tableau input v = V ou X
      var m=new MatWV(1,N);
      for (var l=0;l<N;l++) m.M[l]=document.getElementById(v+l).value;
      return m;Rnd
    }
    function GetM() { // Copie le presse-papier dans le tableau input M
      var m=new MatWV(N,N);
      m.GetCb(); M2I(m);
    }
    function GetV(v) { // Copie le presse-papier dans le tableau input v = 'V' ou 'X'
      var m=new MatWV(1,N);
      m.GetCb(); V2I(m,v);
    }
    function Clr() { // Annule (clear) les valeurs calculées
      for (var c=0;c<N;c++) document.getElementById('X'+c).value='';
      document.getElementById('Z').innerHTML='&nbsp';
    }
    function Cal() { // V=M×X   calcule X
      var v=I2V('V'),m=I2M(),x,ms=(new Date()).getTime();
      if (!m.Invert()) {alert('matrice non inversible'); return;}
      document.getElementById('Z').innerHTML='temps: '+((new Date()).getTime()-ms)+' ms';
      x=m.Prod(v); V2I(x,'X');
    }
    function Com() { // Commutation:  V=M×X ==> X=Inv(M)×V
      var v=I2V('V'),m=I2M(),x=I2V('X');
      if (m.Invert()) {V2I(x,'V'); M2I(m); V2I(v,'X');} else alert('matrice non inversible');
    }
    function Chn(f) { // Change la dimension N
      var n=parseInt(f.value);
      if ((n>=1)&&(n<=100)) {N=n; Dim()} else alert('introduisez un nombre entre 1 et 100');
      f.value=N;
    }
    function Dim() { // Construit les tableaux du système d'équations selon la dimension N
      var c,l,k=Math.floor((N-1)/2),s="<table>";
      dT=document.getElementById('T').innerHTML=
        "<h3>Système linéaire de "+N+" équations à "+N+" inconnues:</h3>";
      s+="<tr><td class='inp'>V</td><td> </td>";
      for (c=0;c<N;c++) s+=((c==k)?"<td class='inp'>M":"<td>")+"</td>";
      s+="<td></td><td class='inp'>X</td></tr>";
      for (l=0;l<N;l++) {
        s+="<tr><td><input class='inp' type='text' id='V"+l+"' onchange='Clr()'/></td>";
        s+="<td>"+((l==k)?"=":"")+"</td>";
        for (c=0;c<N;c++)
          s+="<td><input class='inp' type='text' id='M"+l+'_'+c+"' onchange='Clr()'/></td>";
        s+="<td>"+((l==k)?"×":"")+"</td>";
        s+="<td><input class='res' type='text' id='X"+l+"' readonly='readonly'/></td></tr>";
      }
      document.getElementById('S').innerHTML=s+"</table>";
      M2I(MatWV.Uni(N));
      for (var l=0;l<N;l++) document.getElementById('V'+l).value=l+1;
    }
  //]]>
  </script>
</head>
<body style='background-color:#BBBBBB' onload='Dim(3)'>
  <div id='T'></div>
  <div>
    Nombre d'inconnues: N =
    <input type='text' style='width:24px; text-align:center' onchange='Chn(this)' value='3'/>
    &nbsp; &nbsp; &nbsp; <input type ='button' value='Calcul' onclick='Cal()'/>
    &nbsp; &nbsp; &nbsp; <input type ='button' value='Commutation' onclick='Com()'/>
    <br/><div id='Z' style='width:300px; text-align:right; color:blue'>&nbsp</div>
    Presse-papier:<br/>
    <input type ='image' title='Copie les valeurs du presse-papier dans V'
      src='cbO.jpg' onclick='GetV("V")'/> V
    <input type ='image' title='Ecrit les valeurs de V dans le presse-papier' src='cbI.jpg'
      onclick='I2V("V").SetCb()'/> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
    <input type ='image' title='Copie les valeurs du presse-papier dans M'
      src='cbO.jpg' onclick='GetM()'/> M
    <input type ='image' title='Ecrit les valeurs de M dans le presse-papier' src='cbI.jpg'
      onclick='I2M().SetCb()'/> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; X
    <input type ='image' title='Ecrit les valeurs de X dans le presse-papier' src='cbI.jpg'
      onclick='I2V("X").SetCb()'/> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp; &nbsp;
    <input type ='button' style='position:relative; bottom:10px'
      value='Random' onclick='M2I(MatWV.Rnd(N,N,4,0))'/>
  </div>
  <div id='S'></div>
  <h6>Par William Voirol, Switzerland, Sep 2011</h6>
  <!--La suite du code n'est pas indispensable-->
  <div>
    Wikipédia: <a href='http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_lin%C3%A9aire'>
      Equations linéaires</a><br/><br/>
    <a href='http://www.william-voirol.ch/Prog/Transformations/Equations.zip'>Zip du code</a>
  </div>
</body>
</html>

Conclusion :


Faites directement un test: (observez la remarque ci-dessous)
http://www.william-voirol.ch/Prog/Transformations/Equations

Remarque: de temps en temps, des espaces (caractères blancs) s'immiscent
dans certains textes. (CodeS-SourceS est au courant du problème).
Si c'était le cas ici, enlevez les espaces avant d'utiliser l'adresse Web ci-dessus.

L'exemple complet se trouve sur le fichier zip.
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Codes Sources

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