Extension de corps (math)
Description
Voici un petite programme qui permet de gerer des corps de facon generique.
On peut obtenir des corps classiques comme les reels, les rationnels, ou
encore les corps finis Z/pZ (avec p premier). A partir de cela on peut
constuire des polynomes sur un corps, et puis faire des extensions de corps
a partir d'un polynome irreductible... on construit d'autres corps, comme
les complexes et des corps finis a 4,16,256,3,9,27... elements !!
Un petit detour dans le monde merveilleux des mathematiques :
Soit K un corps, et P un polynome irreductible de degre n sur K.
K[X] est l'anneau des polynomes a coefficients dans K. On note
K[X]/P la classe residuelle modulo P des polynomes de K[x],
autrement dit on considere seulement les restes des divisions
euclidiennes par P. (Autrement mathematiquement-pompeusement dit : on
quotiente l'ensemble K[X] par la relation d'equivalence A~B<=>P|A-B, et
on prend comme representant des classes d'equivalences le polynome de
degre strictement inferieur a n)
Noton L=K[X]/P cette ensemble. L est muni naturellement de l'addition,
soustraction, multiplication, regles d'associativite et de distributivite,
... et surtout de l'inverse (et donc de la division pour tout element non-nul)
La relation de bezout entre un polynome non-nul et P donne : XU+PV=PGCD(X,P)=1
car P est irreductible, dont premier avec tout polynome de degre strictement
inferieur a n. Ainsi "modulo P" on a XU=1, U est donc l'inverse de X dans L.
L est donc muni d'une structure de corps. Et L est un espace vectoriel sur K
de dimension n.
Dans le cas des corps finis, ceci montre que si K=Z/pZ, alors L est un corps
a p^n elements... reste a demontrer qu'il existe bien un polynome irreductible
de degre n... c'est un autre probleme !
La genericite du code pour la strucutre de corps ('FIELD') permet aisement de
construire c'est sur-corps, ce programme met bien en oeuvre l'utilisation
des extensions de corps.
C=R[X]/X^2+1 est le corps des complexes
Q[racine de deux] ) Q[X]/X^2-2
F16 = F2[X]/X^4+X+1 est le corps (a isomorphisme pres il est unique) a 16 elements
On peut obtenir des corps classiques comme les reels, les rationnels, ou
encore les corps finis Z/pZ (avec p premier). A partir de cela on peut
constuire des polynomes sur un corps, et puis faire des extensions de corps
a partir d'un polynome irreductible... on construit d'autres corps, comme
les complexes et des corps finis a 4,16,256,3,9,27... elements !!
Un petit detour dans le monde merveilleux des mathematiques :
Soit K un corps, et P un polynome irreductible de degre n sur K.
K[X] est l'anneau des polynomes a coefficients dans K. On note
K[X]/P la classe residuelle modulo P des polynomes de K[x],
autrement dit on considere seulement les restes des divisions
euclidiennes par P. (Autrement mathematiquement-pompeusement dit : on
quotiente l'ensemble K[X] par la relation d'equivalence A~B<=>P|A-B, et
on prend comme representant des classes d'equivalences le polynome de
degre strictement inferieur a n)
Noton L=K[X]/P cette ensemble. L est muni naturellement de l'addition,
soustraction, multiplication, regles d'associativite et de distributivite,
... et surtout de l'inverse (et donc de la division pour tout element non-nul)
La relation de bezout entre un polynome non-nul et P donne : XU+PV=PGCD(X,P)=1
car P est irreductible, dont premier avec tout polynome de degre strictement
inferieur a n. Ainsi "modulo P" on a XU=1, U est donc l'inverse de X dans L.
L est donc muni d'une structure de corps. Et L est un espace vectoriel sur K
de dimension n.
Dans le cas des corps finis, ceci montre que si K=Z/pZ, alors L est un corps
a p^n elements... reste a demontrer qu'il existe bien un polynome irreductible
de degre n... c'est un autre probleme !
La genericite du code pour la strucutre de corps ('FIELD') permet aisement de
construire c'est sur-corps, ce programme met bien en oeuvre l'utilisation
des extensions de corps.
C=R[X]/X^2+1 est le corps des complexes
Q[racine de deux] ) Q[X]/X^2-2
F16 = F2[X]/X^4+X+1 est le corps (a isomorphisme pres il est unique) a 16 elements
Source / Exemple :
--------------- corps des reels --------------- x = +3.14159 y = +2.00000 x+y = +5.14159 x-y = +1.14159 x*y = +6.28319 x/y = +1.57080 ------------------- corps des complexes ------------------- x = +0.000+1.000.i y = +0.000+1.414.i x+y = +0.000+2.414.i x-y = +0.000-0.414.i x*y = -1.414+0.000.i x/y = +0.707+0.000.i -------------------- corps des rationnels -------------------- x = +1/3 y = -9/5 x+y = -22/15 x-y = +32/15 x*y = -3/5 x/y = -5/27 ---------- corps Z/7Z ---------- x = 3 y = 6 x+y = 2 x-y = 4 x*y = 4 x/y = 4 --------------------- polynomes (complexes) --------------------- A = (-1.000+0.000.i) + (+1.000+0.000.i).X^4 B = (+0.000+1.000.i) + (+1.000+0.000.i).X A+B = (-1.000+1.000.i) + (+1.000+0.000.i).X + (+1.000+0.000.i).X^4 A*B = (+0.000-1.000.i) + (-1.000+0.000.i).X + (+0.000+1.000.i).X^4 + (+1.000+0.000.i).X^5 A/B = (+0.000+1.000.i) + (-1.000+0.000.i).X + (+0.000-1.000.i).X^2 + (+1.000+0.000.i).X^3 A%B = +0.000+0.000.i ------------------------- bezout (Z/5Z) : A.U+B.V=G ------------------------- A = (4) + (1).X + (4).X^2 + (1).X^3 B = (1).X + (1).X^2 + (1).X^3 + (1).X^4 U = (4) + (2).X V = (3) G = (1) + (1).X^2 --------------------------------- extension de corps : C=R[X]/X^2+1 --------------------------------- A = (+1.00000) B = (+1.00000).j A+B = (+1.00000) + (+1.00000).j 1/(A+B) = (+0.50000) + (-0.50000).j ------------------------------------------ extension de corps : Q[sqrt(2)]=Q[X]/X^2-2 ------------------------------------------ A = (+5/3) B = (+1/1).sqrt(2) A+B = (+5/3) + (+1/1).sqrt(2) 1/(A+B) = (+15/7) + (-9/7).sqrt(2) --------------------------------------- extension de corps : F16=(Z/2Z)/X^4+X+1 --------------------------------------- A^ 1 = (1).a A^ 2 = (1).a^2 A^ 3 = (1).a^3 A^ 4 = (1) + (1).a A^ 5 = (1).a + (1).a^2 A^ 6 = (1).a^2 + (1).a^3 A^ 7 = (1) + (1).a + (1).a^3 A^ 8 = (1) + (1).a^2 A^ 9 = (1).a + (1).a^3 A^10 = (1) + (1).a + (1).a^2 A^11 = (1).a + (1).a^2 + (1).a^3 A^12 = (1) + (1).a + (1).a^2 + (1).a^3 A^13 = (1) + (1).a^2 + (1).a^3 A^14 = (1) + (1).a^3 A^15 = (1) A^16 = (1).a B^ 1 = (1) + (1).a + (1).a^2 B^ 2 = (1).a + (1).a^2 B^ 3 = (1) B^ 4 = (1) + (1).a + (1).a^2
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