Inversion de matrice - résolution de systèmes d'équations linéaires

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Description

Il est souvent pratique de résoudre des systèmes d'équations linéaires.
Je me suis donc lancé dans l'inversion de matrices.
J'ai utilisé la formule A^(-1) = (1/dét(A))*tcom(A)

Mon code comprend donc :
- une fonction qui calcule le déterminant de matrices carrées
- une procédure pour calculer la transposée
- une procédure pour calculer les matrices mineures (on enlève une ligne et une colonne)
- une procédure de calcul des cofacteurs (=déterminant de la matrice mineure à un coefficient -1 près)
- et finalement une procédure de calcul de la matrice inverse

Enfin, une procédure de multiplication de matrice permet d'obtenir la solution d'un système A*X=B (car B = A^(-1)*B)

Source / Exemple : 


Function deter_vb(mat() As Double)
'cette fonction nécessite uniquement une matrice d'entrée carrée : mat()
Dim i As Integer, j As Integer
Dim dim1 As Long, dim1_1 As Long
Dim mat_min() As Double
Dim deter As Double, deter_1 As Double

    'Vérification portant sur la matrice qui doit être carrée
    dim1 = UBound(mat, 1)
    If dim1 <> UBound(mat, 2) Then
        MsgBox "la matrice doit être carrée"
    End If
    'Initialisation de la valeur à 0
    déter = 0
    
    If dim1 = 1 Then
    'si la matrice est de dimension 1, le déterminant est trivialement égal au coef a11
        deter = mat(1, 1)
    Else
    'sinon, il faut décomposer le déterminant en une somme de n déterminants de dimension (n - 1)
        For j = 1 To dim1
            'appel de la procédure de calcul de la comatrice de la matrice d'entrée pour i = 1 et le j en cours
            Call mat_mineur(mat(), 1, j, mat_min(), dim1_1)
            'appel de la procédure de calcul du déterminant de la comatrice (de dimension (n-1))
            deter_1 = deter_vb(mat_min())
            'ajout du terme correspondant au déterminant de la comatrice
            deter = deter + (-1) ^ (1 + j) * mat(1, j) * deter_1
        Next j
    End If
    deter_vb = deter
End Function

Sub mat_mul(mat1() As Double, mat2() As Double, mat3() As Double)
Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer
Dim dimx1 As Long, dimy1 As Long
Dim dimx2 As Long, dimy2 As Long
    
    dimx1 = UBound(mat1, 1)
    dimy1 = UBound(mat1, 2)
    dimx2 = UBound(mat2, 1)
    dimy2 = UBound(mat2, 2)
    
    If dimy1 <> dimx2 Then
        MsgBox "les dimensions des deux matrices sont incompatibles"
    End If
    
    ReDim mat3(1 To dimx1, 1 To dimy2)
    For i = 1 To dimx1
        For j = 1 To dimy2
            mat3(i, j) = 0
            For k = 1 To dimx2
                mat3(i, j) = mat3(i, j) + mat1(i, k) * mat2(k, j)
            Next k
        Next j
    Next i
    
End Sub

Sub mat_inverse(mat() As Double, mat_inv() As Double)
Dim i As Integer, j As Integer
Dim dim1 As Long
    
    'Vérification portant sur la matrice qui doit être carrée
    dim1 = UBound(mat, 1)
    If dim1 <> UBound(mat, 2) Then
        MsgBox "la matrice doit être carrée"
    End If
    
    ReDim mat_inv(1 To dim1, 1 To dim1)
    Dim deter As Double
    Dim mat_compl() As Double
    
    deter = deter_vb(mat())
    
    If deter = 0 Then
        MsgBox "la matrice n'est pas inversible car son déterminant est nul !"
    Else
        Call mat_complementaire(mat(), mat_compl())
        
        For i = 1 To dim1
            For j = 1 To dim1
                mat_inv(i, j) = (1 / deter) * mat_compl(i, j)
            Next j
        Next i
    End If
    
End Sub

Sub mat_transposee(mat() As Double, mat_transp() As Double)
Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer
Dim dimx As Long, dimy As Long
    
    dimx = UBound(mat, 1)
    dimy = UBound(mat, 2)
    
    ReDim mat_transp(1 To dimy, 1 To dimx)
    For i = 1 To dimy
        For j = 1 To dimx
            mat_transp(i, j) = mat(j, i)
        Next j
    Next i
    
End Sub

Sub mat_complementaire(mat() As Double, mat_compl() As Double)
Dim i As Integer, j As Integer
Dim dim1 As Integer

    'Vérification portant sur la matrice qui doit être carrée
    dim1 = UBound(mat, 1)
    If dim1 <> UBound(mat, 2) Then
        MsgBox "la matrice doit être carrée"
    End If
    
    Dim mat_cof() As Double
    
    Call mat_cofacteur(mat(), mat_cof())
    Call mat_transposee(mat_cof(), mat_compl())
    
End Sub

Sub mat_cofacteur(mat() As Double, mat_cof() As Double)
Dim i As Integer, j As Integer
Dim dim1 As Long, dim2 As Long
Dim deter As Double

    'Vérification portant sur la matrice qui doit être carrée
    dim1 = UBound(mat, 1)
    If dim1 <> UBound(mat, 2) Then
        MsgBox "la matrice doit être carrée"
    End If
    
    Dim mat_min() As Double
    ReDim mat_cof(1 To dim1, 1 To dim1) As Double
    
    For i = 1 To dim1
        For j = 1 To dim1
            'Appel de la procédure de calcul de la matrice mineure de la matrice d'entrée (ligne i et colonne j)
            Call mat_mineur(mat(), i, j, mat_min(), dim2)
            'Appel de la procédure de calcul du déterminant de la comatrice (de dimension (n-1))
            deter = deter_vb(mat_min())
            mat_cof(i, j) = (-1) ^ (i + j) * deter
        Next j
    Next i
    
End Sub

Sub mat_mineur(mat() As Double, lig As Integer, col As Integer, mat_min() As Double, dim2 As Long)
Dim i As Integer, j As Integer
Dim i_co As Integer, j_co As Integer
Dim dim1 As Long
    
    dim1 = UBound(mat, 1)
    dim2 = dim1 - 1
    
    ReDim mat_min(1 To dim2, 1 To dim2)
    i_co = 0
    For i = 1 To dim1
        If i <> lig Then i_co = i_co + 1
        j_co = 0
        For j = 1 To dim1
            If j <> col Then j_co = j_co + 1
            If i <> lig And j <> col Then
                mat_min(i_co, j_co) = mat(i, j)
            End If
        Next j
    Next i
    
End Sub

Conclusion :


Ca semble bien fonctionner sur des cas de matrice simples (comparaison avec les résultats issus des fonctions d'Excel).

Mais n'hésitez pas à me faire part de vos remarques, notamment si vous détectez un problème.
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