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Méthode d'élimination de gauss-jordan, et du pivot de gauss pour systèmes d'équations linéaires à 3 inconnues

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Contenu du snippet

"En mathématiques, l'élimination de Gauss ou l'élimination de Gauss-Jordan, nommé en hommmage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan est un algorithme de l'algèbre linéaire pour déterminer les solutions d'un système d'équations linéaires, pour déterminer le rang d'une matrice ou pour calculer l'inverse d'une matrice carrée inversible. Lorsqu'on applique l'élimination de Gauss sur une matrice, on obtient sa forme échelonnée réduite." d'après wikipédia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Élimination de Gauss-Jordan). Je n'aurais pas mieux dit ;)

Source / Exemple :


/*

  • Created by SharpDevelop.
  • User: yanngeffrotin@gmail.com
  • Date: 16/12/2005
  • Time: 19:08
  • /
using System; namespace Pivot_de_Gauss { class MainClass { public static void Main(string[] args) { Console.WriteLine("Méthode du pivot de Gauss avec systèmes d'équations linéaires"); Console.WriteLine("Licence publique générale GNU"); /* Sommaire : 1 - Déclaration des variables 2 - Saisie des nombres 3 - Affichage des équations saisies 4 - Méthode d'élimination des inconnues de Gauss - Jordan 5 - Affichage des résultats 6 - Triangulation du système (pivot de Gauss) 7 - Calcul des résultats 8 - Affichage des solutions 9 - Encore des équations ?
  • /
// 1 - Déclaration des variables // déclaration des connues string [] Tnom={" ","a","b","c","d"} ; // déclaration des tableaux de 4 valeurs flottantes // tableau principal float [,] Tnb = new float[4+1,4+1]; // a=0 float [] Tnb2 = new float[4+1]; float [] Tnb3 = new float[4+1]; // a=0 et b=0 float [] Tnb4 = new float[4+1]; // resultats float [] Tnb5 = new float[4+1]; // entier : nombre d'équations, compteur int cpt, cpt2 ; // flotant : les ratios float ratio, ratio2, ratio3 ; // booléen bool val ; // texte string texte ; do { Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Exemple : ") ; Console.WriteLine("+2x-3y+1z = -4"); Console.WriteLine("-4x+6y+3z = 28"); Console.WriteLine("-6x+5y-2z = 6"); // 2 - Saisie des nombres Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Les saisies"); for(cpt=1;cpt<=3;cpt++) { for(cpt2=1;cpt2<=4;cpt2++) { Console.WriteLine("L" + cpt + ", " + Tnom[cpt2] + " : " ); Tnb[cpt,cpt2] = Int32.Parse(Console.ReadLine()); } } // 3 - Affichage des équations saisies Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Les équations"); for(cpt=1;cpt<=3;cpt++) { Console.WriteLine("{ "+Tnb[cpt,1]+"x + "+Tnb[cpt,2]+"y + "+Tnb[cpt,3]+"z = "+Tnb[cpt,4]); } // 4 - Méthode d'élimination des inconnues de Gauss - Jordan // calcul des ratios (M . X = C donc X = C / M) ratio = Tnb[2,1] / (-Tnb[1,1]) ; ratio2 = Tnb[3,1] / (-Tnb[1,1]) ; // Tnb2[1] = ((Tnb[2,1] / (-Tnb[1,1])) * Tnb[1,1]) + Tnb[2,1] ; // remplissage du tableau 2 Tnb2[1] = (Tnb[1,1] * ratio) + Tnb[2,1] ; Tnb2[2] = (Tnb[1,2] * ratio) + Tnb[2,2] ; Tnb2[3] = (Tnb[1,3] * ratio) + Tnb[2,3] ; Tnb2[4] = (Tnb[1,4] * ratio) + Tnb[2,4] ; // remplissage du tableau 3 // on enlève les x Tnb3[1] = (Tnb[1,1] * ratio2) + Tnb[3,1] ; Tnb3[2] = (Tnb[1,2] * ratio2) + Tnb[3,2] ; Tnb3[3] = (Tnb[1,3] * ratio2) + Tnb[3,3] ; Tnb3[4] = (Tnb[1,4] * ratio2) + Tnb[3,4] ; // nouveau ratio ratio3 = Tnb3[2] / (-Tnb[1,2]) ; // on enlève les y //(/Tnb3[1]*Tnb3[1] : On enlève les incohérences) Tnb4[1] = ((Tnb[1,1] * ratio3) + Tnb3[1])/Tnb3[1]*Tnb3[1] ; Tnb4[2] = ((Tnb[1,2] * ratio3) + Tnb3[2])/Tnb3[2]*Tnb3[2] ; Tnb4[3] = ((Tnb[1,3] * ratio3) + Tnb3[3])/Tnb3[3]*Tnb3[3] ; Tnb4[4] = ((Tnb[1,4] * ratio3) + Tnb3[4])/Tnb3[4]*Tnb3[4] ; // 5 - Affichage des résultats Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Elimination des inconnues"); Console.WriteLine("{ "+Tnb[1,1]+"x + "+Tnb[1,2]+"y + "+Tnb[1,3]+"z = "+Tnb[1,4]); Console.WriteLine("{ "+Tnb2[1]+"x + "+Tnb2[2]+"y + "+Tnb2[3]+"z = "+Tnb2[4]); Console.WriteLine("{ "+Tnb3[1]+"x + "+Tnb3[2]+"y + "+Tnb3[3]+"z = "+Tnb3[4]); // 6 - Triangulation du système (pivot de Gauss) val=true ; Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Pivot de Gauss"); Console.WriteLine("{ "+Tnb[1,1]+"x + "+Tnb[1,2]+"y + "+Tnb[1,3]+"z = "+Tnb[1,4]); if(Tnb2[1]==0 && Tnb2[2]==0) { Console.WriteLine("{ "+Tnb3[1]+"x + "+Tnb3[2]+"y + "+Tnb3[3]+"z = "+Tnb3[4]); Console.WriteLine("{ "+Tnb2[1]+"x + "+Tnb2[2]+"y + "+Tnb2[3]+"z = "+Tnb2[4]); val=false ; } else { Console.WriteLine("{ "+Tnb2[1]+"x + "+Tnb2[2]+"y + "+Tnb2[3]+"z = "+Tnb2[4]); Console.WriteLine("{ "+Tnb4[1]+"x + "+Tnb4[2]+"y + "+Tnb4[3]+"z = "+Tnb4[4]); } // 7 - Calcul des résultats en sens inverse if(val==true) { Tnb5[3] = Tnb4[4] / Tnb4[3] ; Tnb5[2] = (Tnb2[4] - (Tnb2[3]*Tnb5[3])) / Tnb2[2] ; } else { Tnb5[3] = Tnb2[4] / Tnb2[3] ; Tnb5[2] = (Tnb3[4] - (Tnb3[3]*Tnb5[3])) / Tnb3[2] ; } Tnb5[1] = (Tnb[1,4] - (Tnb[1,3]*Tnb5[3]) - (Tnb[1,2]*Tnb5[2])) / Tnb[1,1] ; // 8 - Affichage des solutions /* |1|0|0|x| |0|1|0|y| |0|0|1|z| */ Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Les solutions"); Console.WriteLine("{ x = " + (Tnb[1,4] - (Tnb[1,3]*Tnb5[3]) - (Tnb[1,2]*Tnb5[2])) + " / " + Tnb[1,1] + " = " + Tnb5[1]) ; if(val==true) { Console.WriteLine("{ y = " + (Tnb2[4] - (Tnb2[3]*Tnb5[3])) + " / " + Tnb2[2] + " = " + Tnb5[2]) ; Console.WriteLine("{ z = " + Tnb4[4] + " / " + Tnb4[3] + " = " + Tnb5[3]) ; } else { Console.WriteLine("{ y = " + (Tnb3[4] - (Tnb3[3]*Tnb5[3])) + " / " + Tnb3[2] + " = " + Tnb5[2]) ; Console.WriteLine("{ z = " + Tnb2[4] + " / " + Tnb2[3] + " = " + Tnb5[3]) ; } // 9 - Encore des équations ? do{ Console.WriteLine(" "); Console.WriteLine("Encore des équations?(O/N)"); texte=Console.ReadLine(); texte=texte.ToUpper(); }while(texte!="N" && texte!="O") ; }while(texte!="N") ; } } }

Conclusion :


Mon prog trouve des arrondis au lieu de valeurs entières. Il faudrait convertir les flottants en entier.

Exemple avec le système d'équations de wikipédia :
+1x - 1y + 2z = +5
+3x + 2y + 1z = +10
+2x - 3y - 2z = -10

La réponse normale est :
x = 1
y = 2
z = 3

La réponse de mon prog :
x = 0,875
y = 2,125
z = 3,125

Es-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire un arrondi en c#?

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