Approximations de Pi: Formules avec nombres de Fibonacci

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Bonjour,

Dans la suite de nombres de Fibonacci, chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.
  F0 = 0; F1 = 1; Fn = F(n-2) + F(n-1)

Ces nombres interviennent dans des formules pour calculer Pi:
  Pi/4 = arctan(1)
  Pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
  Pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8)
  Pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/13) + arctan(1/21)
  Pi/4 = ...
  Pi/4 = Somme(i>=1) arctan(1/F(2i+1))

  Pi/4 = arctan(1/F2)
  Pi/4 = arctan(1/F3) + arctan(1/F4)
  Pi/4 = arctan(1/F3) + arctan(1/F5) + arctan(1/F6)
  Pi/4 = arctan(1/F3) + arctan(1/F5) + arctan(1/F7) + arctan(1/F8)
  Pi/4 = ...
  Pi/4 = Somme(i>=1) arctan(1/F(2i+1))

Remarque: en italique lorsque l'index est impair.

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi <<< cliquez !.

Comme dans tous les articles de cette série, on se limite à la précision double, utilisons les deux lignes de code: 
double fibo[1477]={0,1}; // pour couvrir tout le domaine "double"

for (int k=2; k<=1476; ++k) fibo[k] = fibo[k-2] + fibo[k-1];
pour calculer à l'avance tous les nombres de Fibonacci de ce domaine.
Il faudra se veiller à ne pas dépasser fibo[1476], ce qui est largement le cas ici.

Les premières formules ci-dessus montrent que Pi/4 correspond à la somme des arctan() de l'inverse de quelques nombres de Fibonacci d'index impairs, et de celui d'index pair suivant: 
/*
    k  = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,  7,  8,  9, 10, 11,  12,  13,  14, ...
  F(k) = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

  n=0          p                          (p: index pair; i: impair)
  n=1             i  p
  n=2             i     i  p
  n=3             i     i      i   p
  n=4             i     i      i       i   p
  n=5             i     i      i       i       i    p
  n=6             i     i      i       i       i         i    p
  ...
*/
double Fibonacci_P(int n) { // calcul précis
  double s=0;
  for (int i=1; i<=n; ++i) s += atan(1/fibo[2*i+1]);
  return 4*(s + atan(1.0/fibo[2*n+2]));
}
Les résultats ne font que confirmer les formules ci-dessus, basées sur la relation:
   arctan(1/F(2n)) = arctan(1/F(2n+1)) + arctan(1/F(2n+2)

La Somme(i>=1) infinie n'est pas à proprement parler une approximation de Pi, puisqu'on obtient un résultat précis avec une somme finie.
De plus, il faudrait aussi calculer l'arctangente à l'aide d'une somme (qui tend vers l'infini). 
double Fibonacci_I(int n) { // calcul avec fibo[i]: index impairs
  double s=0;
  for (int i=1; i<=n; ++i) s += atan(1/fibo[2*i+1]);
  return 4*s;
}
On trouve Pi avec une précision double après 36 itérations.

Ce dernier code a peu d'utilité pratique pour calculer Pi, car on connait des combinaisons d'arctan bien plus efficaces que celles présentées ici.
Voir par exemple CodeS-SourceS: Formule de Machin.

Le Zip contient le seul fichier source Fibonacci.cpp dont voici l'Output: 
Les premiers nombres de Fibonacci:
 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 ...

Fibonacci_P: pi = précis:
  n=  0: pi=3.14159265358979
  n=  1: pi=3.14159265358979
  n=  2: pi=3.14159265358979
  n=  3: pi=3.14159265358979
  n=  4: pi=3.14159265358979
  n=  5: pi=3.14159265358979
  n=  6: pi=3.14159265358979
  n=  7: pi=3.14159265358979
  n=  8: pi=3.14159265358979
  n=  9: pi=3.14159265358979
  n= 10: pi=3.14159265358979
  n= 11: pi=3.14159265358979
  n= 12: pi=3.14159265358979
  n= 13: pi=3.14159265358979
  n= 14: pi=3.14159265358979
  n= 15: pi=3.14159265358979
  n= 16: pi=3.14159265358979
precis:  pi=3.14159265358979

Fibonacci_I: index impairs seulement:
  n=  2: pi=2.64417267540275
  n=  4: pi=3.06887339329788
  n=  6: pi=3.13098259889778
  n=  8: pi=3.14004466605097
  n= 10: pi=3.14136680524720
  n= 12: pi=3.14155970276067
  n= 14: pi=3.14158784612861
  n= 16: pi=3.14159195219066
  n= 18: pi=3.14159255125704
  n= 20: pi=3.14159263865965
  n= 22: pi=3.14159265141151
  n= 24: pi=3.14159265327199
  n= 26: pi=3.14159265354343
  n= 28: pi=3.14159265358303
  n= 30: pi=3.14159265358881
  n= 32: pi=3.14159265358965
  n= 34: pi=3.14159265358977
  n= 36: pi=3.14159265358979
précis:  pi=3.14159265358979


maths.surrey: Pi and the Fibonacci Numbers
pi314: L'univers de Pi: Fibonacci
 
 
Bonne lecture ...
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