Approximations de Pi: Formule de Chudnovsky

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Bonjour,

Voici une formule découverte par les frères David et Grégory Chudnovsky en 1987:

426880*sqrt(10005)/pi =
  (6*i)! * (13591409+545140134*i) / (3*i)! / i!^3 / -640320^(3*i)

A chaque itération, elle permet d'ajouter 14 décimales correctes à l'approximation de Pi.

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi.

Comme dans tous les articles de cette série, on se limite à la précision double, utilisons les deux lignes de code: 
double fact[171]={1}; // pour couvrir tout le domaine "double"

for (int i=1; i<=170; ++i) fact[i]=i*fact[i-1];
pour calculer à l'avance toutes les factorielles de ce domaine.
Il faudra se veiller à ne pas dépasser 170!, ce qui est largement le cas ici.

Le code ressemble assez à celui de la formule de Ramanujan: 
double Chudnovsky_A(int n) {
  double s=0;
  for (int i=0; i<n; ++i) s += fact[6*i] * (13591409.0+545140134.0*i)
    / fact[3*i] / pow(fact[i],3) / pow(-640320.0,3*i);
  return 426880.0*sqrt(10005.0)/s;
}
On trouve Pi avec une précision double après 1 ou 2 itérations seulement !

Comme le montre Nick Craig-Wood, on peut éviter d'utiliser explicitement les factorielles: 
double Chudnovsky_B(int n) {
  double a=1, sa=1, sb=0;
  for (int i=1; i<n; ++i) {
    a *= (1-2*i)*(1-6*i)*(5-6*i);
    sa += (a /= 10939058860032000.0*i*i*i);
    sb += a*i;
  }
  return 426880.0*sqrt(10005.0)/(13591409.0*sa + 545140134.0*sb);
}


Le Zip contient le seul fichier source Chudnovsky.cpp dont voici l'Output: 
426880*sqrt(10005) / pi =
(6*i)! * (13591409+545140134*i) / (3*i)! / i!^3 / -640320^(3*i):

Chudnovsky_A:
  n= 1: pi=3.14159265358973
  n= 2: pi=3.14159265358979
  n= 3: pi=3.14159265358979
précis: pi=3.14159265358979

Chudnovsky_B:
  n= 1: pi=3.14159265358973
  n= 2: pi=3.14159265358979
  n= 3: pi=3.14159265358979
précis: pi=3.14159265358979


pi314: L'univers de Pi: Grégory et David Chudnovsky
Nick Craig-Wood: Pi - Chudnovsky
 
 
Bonne lecture ...
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