Approximations de Pi: Formule de Ramanujan

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Bonjour,

Voici une des nombreuses formules de Ramanujan pour le calcul de pi:

1/pi = sqrt(8)/9801 * somme(i>=0) {(4*i)! * (1103+26390*i) / (i!)^4 / 396^(4*i)}

Elle date de 1910 mais ne fut démontrée qu'en 1985.

Cet article fait partie de la série CodeS-SourceS: Approximations de Pi.

Comme dans tous les articles de cette série, on se limite à la précision double, utilisons les deux lignes de code: 
double fact[171]={1}; // pour couvrir tout le domaine "double"

for (int i=1; i<=170; ++i) fact[i]=i*fact[i-1];
pour calculer à l'avance toutes les factorielles de ce domaine.
Il faudra par contre se veiller à ne pas dépasser 170! .

La programmation d'un code correspondant à la formule est "assez" simple: 
double Ramanujan_A(int n) {
  double s=0;
  for (int i=0; i<n; ++i)
    s += fact[4*i] * (1103.0+26390.0*i) / pow(fact[i],4) / pow(396.0,4*i);
  return 9801.0/sqrt(8.0)/s;
} // 1/pi = sqrt(8)/9801 * somme(i>=0) {(4*i)!*(1103+26390*i)/(i!)^4/396^(4*i)}
Comme vous pouvez le constater par vous-même, on trouve Pi avec une précision double après 2 itérations seulement !

Ajout par rapport au texte initial
La programmation de Formule de Chudnovsky m'a incité à écrire le code suivant: 
double Ramanujan_B(int n) {
  double a=1.0, sa=1.0, sb=0.0;
  for (int i=1; i<n; ++i) {
    a *= (4*i-3)*(4*i-2)*(4*i-1);
    sa += (a /= 6147814464.0*i*i*i);
    sb += a*i;
  }
  return 9801.0/sqrt(8.0)/(1103.0*sa + 26390.0*sb);
}
Il permet d'approcher Pi sans explicitement calculer les factorielles.

Le Zip contient le seul fichier source Ramanujan.cpp dont voici l'Output: 
1/pi=sqrt(8)/9801*somme(i>=0)(4*i)!*(1103+26390*i)/(i!)^4/396^(4*i)

Ramanujan_A:
  n= 1: pi=3.14159273001331
  n= 2: pi=3.14159265358979
  n= 3: pi=3.14159265358979
précis: pi=3.14159265358979

Ramanujan_B:
  n= 1: pi=3.14159273001331
  n= 2: pi=3.14159265358979
  n= 3: pi=3.14159265358979
précis: pi=3.14159265358979


pi314: L'univers de Pi: Srinivasa Ramanujan
Newcastle: RAMANUJAN AND PI
Wiki: Ramanujan?Sato series
 
 
Bonne lecture ...
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